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Ordnungsrelation


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In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

<math>R \subseteq M \times M</math>
auf einer Menge M mit bestimmten unten genannten Eigenschaften.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben dann nennt man das Paar M R ) eine geordnete Menge . Statt a R b schreibt man meist (je nach Art Ordnung) a b oder a < b .

Eine (totale) Ordnung auf einer Menge eine bestimmte Anordnung der Elemente z.B. die der Buchstaben A bis Z im lateinischen Alphabet . Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften reflexiv und irreflexiv antisymmetrisch transitiv oder den Artikel Relation (Mathematik) .


  • eine Quasiordnung ist reflexiv und transitiv .
    Bsp: Für a b aus C a R b falls | a | ≤ | b | (s. Absolutbetrag ).

  • Eine partielle Ordnung Halbordnung Teilordnung oder Ordnungsrelation im engeren Sinne (englisch partial order ) ist reflexiv antisymmetrisch und transitiv .
    Bsp: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge . Die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem Vektorraum R n .

  • eine strenge Halbordnung ist irreflexiv und transitiv .
    Bsp: Die Relation "Echte Teilmenge" in einer Potenzmenge . Die Relation "komponentenweise kleinergleich aber nicht auf dem Vektorraum R n .

  • eine totale oder lineare Ordnung ist eine totale (auch linear genannte) Halbordnung.
    Bsp: "Kleinergleich" auf Z .

  • eine strenge Totalordnung ist total irreflexiv und transitiv .
    Bsp: "Kleiner" auf Z .

  • eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung bei der nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.
    Bsp: "Kleinergleich" auf N .
    Bsp: Z mit der Ordnung 0 < 1 -1 < 2 < -2 < 3 -3 < ... .
    Das sogenannte Wohlordnungsprinzip garantiert die Existenz einer für jede Menge z.B. auch für R . Wie diese Ordnungsrelation aussehen könnte ist heute aber unbekannt.

  • eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung bei der jede Teilmenge ein minimales Element besitzt.
    Bsp: Die Relation "Gleich oder Element von" einer Menge von Mengen.

Beachte: Verschiedene Autoren benutzen den Begriff "Ordnung" Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Man hat also oft die

"Ordnung" (= Halbordnung) - "totale Ordnung"
oder die Bezeichnungen
"Halbordnung" - "Ordnung" (= totale Ordnung).



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