Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es einer Menge miteinander zu vergleichen.
Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation
<math>R \subseteq M \times M</math>
auf einer Menge M mit bestimmten unten genannten Eigenschaften.
Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben dann nennt man das Paar M R ) eine geordnete Menge . Statt a R b schreibt man meist (je nach Art Ordnung) a ≤ b oder a < b .
Eine (totale) Ordnung auf einer Menge eine bestimmte Anordnung der Elemente z.B. die der Buchstaben A bis Z im lateinischen Alphabet . Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine
Bsp: Für a b aus C a R b falls | a | ≤ | b | (s. Absolutbetrag ).
Eine partielle Ordnung Halbordnung Teilordnung oder Ordnungsrelation im engeren Sinne (englisch partial order ) ist reflexiv antisymmetrisch und transitiv .
Bsp: Z mit der Ordnung 0 < 1 -1 < 2 < -2 < 3 -3 < ... .
Das sogenannte Wohlordnungsprinzip garantiert die Existenz einer für jede Menge z.B. auch für R . Wie diese Ordnungsrelation aussehen könnte ist heute aber unbekannt.
eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung bei der jede Teilmenge ein minimales Element besitzt.
Bsp: Die Relation "Gleich oder Element von" einer Menge von Mengen.
Beachte: Verschiedene Autoren benutzen den Begriff "Ordnung" Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Man hat also oft die
