P-adische Zahlen

Diese Körper wurden und werden benutzt Probleme in der Zahlentheorie zu lösen oftmals unter Verwendung des von Helmut Hasse welches vereinfacht gesprochen aussagt eine Gleichung genau dann über den rationalen Q gelöst werden kann wenn sie über reellen Zahlen R und allen Q _p gelöst werden kann (was aber nicht allgemein zutrifft für die genaue Bedeutung siehe Als metrischer Raum ist Q _p vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer Analysis analog zur reellen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation 2 Konstruktion 2.1 Analytische Konstruktion 2.1.1 p-adischer Betrag 2.1.2 p-adische Metrik 2.2 Algebraische Konstruktion 3 Eigenschaften

Motivation

Ist p eine fest gewählte Primzahl dann kann ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt die Zahl wird "zur p geschrieben" s.a. Stellenwertsystem ) der Form

<math>\pm\sum_{i=0}^n a_i p^i</math> (1)

wobei die <math>a_i</math> Zahlen aus <math>\{0 ... p-1\}</math> sind. Zum Beispiel ist die Entwicklung gerade die Binärdarstellung und 35 hat Darstellung <math>1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + + 1*2^1 + 1*2^0</math> die oft mit ₂ abgekürzt wird.

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung Summen dieser Form:

<math>\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i</math> (2)

Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Man dann z.B. 1/3 zur Basis 5 darstellen Grenzwert der Reihe 0 13131313... ₅ . In diesem System sind die ganzen genau diejenigen für die <math>a_i=0</math> ist für <math>i<0</math>.

Alternativ könnte man die Summen am Ende ins Unendliche verlängern und Reihen dieser erhalten:

<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> (3)

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Auf Weise erhalten wir den Körper Q _p der p-adischen Zahlen . Diejenigen p-adischen Zahlen für die <math>a_i=0</math> alle <math>i<0</math> ist heißen p-adische ganze Zahlen . Analog zur gewöhnlichen p -adischen Entwicklung kann man diese Reihen als links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

<math>... + 2*5^5 + 3*5^4 + 2*5^2 3*5^1 + 2*5^0 + 3*5^{-1} = ...23232

Anschaulich besteht also die gewöhnliche p -adische Entwicklung aus Summen die sich nach fortsetzen mit immer kleineren (negativen) Potenzen von p und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen die sich nach links mit immer größeren p -Potenzen.

Mit diesen "formalen Laurentreihen in p " kann man rechnen wie mit den p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts links mit Übertrag Multiplikation nach Schulmethode. Beachten man nur dass sich Überträge ins Unendliche können z.B. ergibt die Addition von ...44444 ₅ und 1 ₅ die Zahl 0 ₅ . Das fehlende Vorzeichen ist also tatsächlich nötig da auch alle negativen Zahlen eine p -adische Darstellung haben. Damit lässt sich auch Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden (man versuche es bei 0 ₅ -1 ₅ =...4444 ₅ ). Die Division dagegen wird im Gegensatz Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt wird das Ergebnis nach links fortgesetzt falls Division nicht "aufgeht".

Ein technisches Problem ist nun ob Reihen überhaupt sinnvoll sind d.h. ob sie irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden vorgestellt.

Konstruktion

Analytische Konstruktion

Die reellen Zahlen können konstruiert werden Vervollständigung der rationalen Zahlen. Sie werden dabei als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen . Dies erlaubt uns z.B. die Zahl als 1 000... zu schreiben oder als 999... - es ist 1 000... = 999... in R .

Jedoch hängt bereits die Definition einer von der verwendeten Metrik ab und indem man statt der euklidischen Metrik die vom Absolutbetrag erzeugt wird andere Metrik benutzt erhält man andere Vervollständigungen der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf Q : Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als mit einer ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a b die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann <math>|x|_p:=p^{-n}</math> <math>|0|_p:=0</math>. Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag .

Zum Beispiel ist x =63/550=<math>2^{-1}*3^2*5^{-2}*7*11^{-1}</math> damit ist

<math>|x|_2=2 |x|_3=1/9 |x|_5=25 |x|_7=1/7 |x|_11=11</math>

<math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl p

Durch diese Definition des Betrags <math>|x|_p</math> große Potenzen von p "betragsmäßig klein".

p-adische Metrik

Die p-adische Metrik <math>d_p</math> auf Q definiert man nun so:

<math>d_p(x y)=|x-y|_p</math>

Damit ist z.B. die Folge <math>(1 5^2 5^3 5^4 ...)</math> in Q bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge die Folge <math>(1 ^1/_2 ^1/_4 ^1/_8 ...)</math> aber keine Cauchy-Folge ist denn für jedes n ist

<math>d_5(1/2^n 1/2^{n+1})=|1/2^{n+1}|_5 = 1</math>

Die Vervollständigung des metrischen Raums ( Q d _p ) ist der metrische Raum Q _p der p -adischen Zahlen er besteht aus Äquivalenzklassen von wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen wenn die ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhalten wir vollständigen metrischen Raum der (durch die wohldefinierten Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist dem Q enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist konvergieren Reihen bereits dann wenn Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper also die oben erwähnten Reihen der Form

<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> (3)

sofort als konvergent zu erkennen falls k eine ganze Zahl ist und die in <math>\{0 1 ... p-1\}</math> liegen. Man zeigen dass sich jedes Element von Q _p als Grenzwert genau einer solchen Reihe lässt.

Algebraische Konstruktion

Hier wird zuerst der Ring der p -adischen ganzen Zahlen definiert und danach dessen Quotientenkörper Q _p .

Wir definieren Z _p als projektiven Limes der Ringe Z / p ⁿ Z (siehe Kongruenz (Zahlentheorie) ): Eine p -adische ganze Zahl ist dann eine Folge von Restklassen <math>a_n</math> aus Z / p ⁿ Z wobei gilt:

<math>1\le n<m \Rightarrow a_n \equiv a_m \pmod{p^n}

Jede ganze Zahl m definiert eine Folge <math>(m \bmod p^n)</math> kann daher als Element von Z _p aufgefasst werden. Zum Beispiele sähe 35 Z ₂ so aus: <math>(1 3 3 3 35 35 35 ...)</math>.

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen der Restklassenbildung vertauschbar ist. Damit hat jede p -adische ganze Zahl <math>(a_n)</math> die negative Zahl und jede Zahl deren erste Komponente <math>a_1</math> 0 ist hat ein Inverses denn in Fall sind alle <math>a_n</math> zu <math>p^n</math> teilerfremd also ein Inverses <math>b_n</math> modulo <math>p^n</math> und Folge <math>(b_n)</math> (welche die Kongruenzeigenschaft des projektiven hat) ist dann die Inverse zu <math>(a_n)</math>.

Jede p -adische Zahl kann auch als Reihe der beschriebenen Form (3) dargestellt werden dabei sind Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum kann man die 3-adische Folge <math>(2 8 35 35 35 ...)</math> auch schreiben als oder in der verkürzten Schreibweise als ...001022 ₃ .

Der Ring der p -adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten Q _p den Körper der p -adischen Zahlen . Jedes Element dieses Körpers kann man in der Form <math>p^n u</math> wobei n eine ganze Zahl ist und u eine invertierbare p -adische ganze Zahl (also mit erster Komponente ungleich 0). Diese Darstellung ist eindeutig.

Eigenschaften

Die Menge Q _p der p -adischen Zahlen ist überabzählbar.

Die p -adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0. Dieser Körper kann nicht angeordnet werden.

Der topologische Raum Z _p der p -adischen ganzen Zahlen ist kompakt der Raum aller p -adischen Zahlen ist lokal kompakt . Als metrische Räume sind beide vollständig .

Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische die komplexen Zahlen bereits die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen . Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Q _p einen unendlichen Erweiterungsgrad. Q _p hat also unendlich viele inäquivalente algebraische

(Nebenbei ist der algebraische Abschluss von Q _p nicht vollständig und kann vervollständigt werden Körper C _p der bezüglich seiner Analysis etwa den Zahlen entspricht.)

Die übliche Definition der e-Funktion

<math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>

konvergiert für alle x mit <math>|x|_p<p^{-1/(p-1)}</math>. Dieser Konvergenzkreis gilt sogar alle Erweiterungen von Q _p .

Damit liegt die Eulersche Zahl <math>e := \exp(1)</math> in keinem Q _p aber <math>e^p</math> liegt in Q _p für alle <math>p>2</math> in Q ₂ liegt <math>e^4</math>.

Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von Q _p nach Q _p gilt dieser Satz nicht z.B. hat Funktion f ( x ) = | x | _p ² auf ganz Q _p die Ableitung 0 ist aber nicht lokal konstant in 0. (Wobei die Ableitung wie reellen über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert

Sind <math>r_\infty r_2 r_3 r_5 r_7 Elemente von <math>Q_\infty (:=R) Q_2 Q_3 Q_5 ...</math> dann gibt es eine Folge <math>(x_n)</math> Q so dass für alle p (einschließlich <math>\infty</math>) der Grenzwert der <math>x_n</math> Q _p <math>r_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.)

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