Parakompakter Raum

Parakompaktheit ist eine rein topologische Eigenschaft die einem topologischen Raum zukommt oder nicht und die in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt wird.

Tatsächlich sind die meisten mathematisch interessanten parakompakte Hausdorff-Räume ; dazu gehören insbesondere alle metrischen Räume und Mannigfaltigkeiten.

Parakompaktheit ist eine abgeschwächte Form der Kompaktheit ; zum Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen parakompakt aber nicht kompakt.

Definition

Ein topologischer Raum M ist parakompakt falls jede offene Überdeckung eine lokal endliche Verfeinerung besitzt.

Zum Vergleich: ein topologischer Raum M ist kompakt falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dabei bedeutet:

• offene Überdeckung von M : eine Familie { U _{i ∈ I} } von offenen Mengen deren Vereinigung M enthält: M = ∪ U _i ;
• Teilüberdeckung : eine Auswahl { U _{j ∈ J} } deren Vereinigung immer noch M enthält;
• Verfeinerung : eine neue Überdeckung { V _{j ∈ J} } wobei jede Menge V _j in mindestens einer Menge U _i der alten Überdeckung enthalten sein muss;
• lokal endlich : zu jedem x ∈ M gibt es eine Umgebung die nur endlich viele Mengen V _j schneidet.

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