Parallelenaxiom

Es besagt: "Wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen derselben Seite innere Winkel bildet die zusammen kleiner sind als rechte dass dann die beiden Geraden ins Unendliche verlängert schließlich auf der Seite zusammentreffen der die Winkel liegen die kleiner als rechte sind."

Eine andere Formulierung ist: "Zu einer Geraden gibt es durch einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele."

Schon seit Euklid herrschte Unbehagen über dieses Axiom da nicht so einfach ist wie die anderen Axiome. Es gab viele Versuche dieses Axiom den anderen Axiomen herzuleiten. Der Versuch dieses zu beweisen indem man aus seiner Nichtgültigkeit einen Widerspruch konstruiert führte schließlich zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien .
Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten das zu ersetzen:

• Zu einer Geraden und einem Punkt der Geraden gibt es keine Parallele (je Geraden schneiden sich)
• Zu einer Geraden und einem Punkt der Geraden gibt es mehrere Parallelen.

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