Partielle Ableitung

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren nach einem dieser Argumente.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Verwendung 3 Beispiele 4 Literatur

Definition

Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums R ⁿ und f : U -> R eine Funktion . Sei weiterhin ein Punkt a =( a ₁ ... a _n ) in U gegeben. Falls für die natürliche Zahl i 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert existiert:

<math>

 \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \ldots a_i+h \ldots a_n) - f(a_1 \ldots \ldots a_n)}{h}  

Die partielle Ableitung nach x _i ist selbst wieder eine Funktion von U nach R falls f in ganz U nach x _i partiell differenzierbar ist.

Den Vektor

<math>

 \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \ldots f}{\partial x_n} \right)  

Verwendung

Partielle Ableitungen ermöglichen die Berechnung einer Lösung für die von mehreren Parametern abhängen.

Das Bestimmen der optimalen Lösung ist Extremwertproblem .

Einfache Extremwertprobleme findet man in der bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung ).

Die Verallgemeinerung des Differenzialquotienten auf Funktionen mehrerer Variabler (Veränderlicher Parameter) die Bestimmung ihrer Extremwerte und für die werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung totalen Differentials . Anwendungen für totale Differentiale findet man großem Maße in der Thermodynamik .

Partielle Ableitungen sind darüberhinaus ein wesentlicher der Vektoranalysis . Sie bilden die Komponenten des Gradienten des Laplace-Operators der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern .

Beispiele

Die partielle Ableitung setzt eine Funktion die von mehreren Parametern abhängt.

Als Beispiel wird die Funktion <math>f(x x^2 + y^2</math> betrachtet die von den Parametern x und y abhängt.

Betrachtet man den Parameter y als eine Konstante z.B. y = 3 so hängt die Funktion f(x 3) nur noch von dem Parameter x ab:

<math>f(x 3) = x^2 + 9</math>

Für die neue Funktion <math>g(x) = + 9</math> kann man den Differenzialquotienten bilden

<math>\frac{dg(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta - g(x)}{\Delta x} = g'(x) = 2 x</math>

Das gleiche Ergebnis erhält man wenn die partielle Ableitung der Funktion f(x y) nach x bildet:

<math>\frac{\partial f(x y)}{\partial x} = \lim_{h 0}\frac{f(x+h y) - f(x y)}{h} = 2 x</math>

Die partielle Ableitung von f(x y) nach y lautet entsprechend:

<math>\frac{\partial f(x y)}{\partial y} = \lim_{h 0}\frac{f(x y + h) - f(x y)}{h} 2 \cdot y</math>

Diese Beispiel demonstriert wie die partielle einer Funktion bestimmt wird die von mehreren abhängt:

bis auf einen Parameter werden alle Parameter als konstant angenommen bezüglich dieses einen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält die partielle Ableitung der Funktion nach diesem Parameter.

Das folgende Beispiel gibt eine geometrische der partiellen Ableitung:

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Graph der Funktion <math>f(x y):= \sqrt{1 - + y^2}</math> betrachtet.

Der Definitionsbereich ist ein Kreis mit Radius 1 in der x y - Ebene der den Punkt (0 0) als Mittelpunkt enthält.

Die Funktion f projiziert diesen Kreis auf die Oberfläche Halbkugel vom Radius 1 (die "obere Halbkugel"). Der Pol dieser Halbkugel ist Extremwert von f (ein Maximum).

Für einen festen Wert von x ist dann f(x y) eine Funktion von y .

Bei festem x ergeben die Punkte y (so dass (x y) aus dem Definitionsbereich von f ist) eine Strecke parallel zur y - Achse.

Diese Strecke wird von f auf eine gekrümmte Linie auf der Oberfläche der Halbkugel projiziert.

Die partielle Ableitung von f nach y bestimmt unter diesen Voraussetzungen die Steigung Tangente an diese Kurve im Punkt f(x y) .

Für jeden Parameter einer Funktion f kann man partielle Ableitungen bestimmen den einer Funktion f die von mehr als zwei Parametern kann man sich allerdings nicht mehr vorstellen.

Literatur

• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main 1974

  Ein Klassiker didaktisch sehr gut aufgebaut. So stellt man ein Vorlesungs- Skript vor.

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