Dessau wurde am 19. Dezember 1894 Hamburg in eine musikalische Familie geboren. Sein Moses Berend Dessau war Kantor sein Onkel Dessau Geiger an der Königlichen Oper Unter Linden und sein Cousin Max Winterfeld wurde dem Namen Jean Gilbert als Operettenkomponist bekannt.
Ab 1909 studierte er am Klindworth-Scharwenka-Konservatorium Berlin mit dem Hauptfach Violine. 1912 wurde Korrepetitor im Stadttheater Hamburg wo er die der Dirigenten Felix von Weingartner und Artur kennenlernte und bei Max Julius Loewengard Kompositionsunterricht 1914 war er Zweiter Kapellmeister am Bremer bevor er 1915 zum Kriegsdienst eingezogen wurde.
Nach dem Ersten Weltkrieg wurde er an den Hamburger Kammerspielen und war 1919 1923 Korrepetitor und später Kapellmeister an der in Köln unter Otto Klemperer . 1923 wurde er Kapellmeister in Mainz 1925 Erster Kapellmeister an der Städtischen Oper unter Bruno Walter .
1933 emigrierte Dessau nach Frankreich 1939 in die USA wo er zuächst in New York später in Hollywood lebte. 1948 kehrte Dessau mit seiner Frau der Schriftstellerin Elisabeth Hauptmann nach Deutschland und ließ sich in Ostberlin nieder. Ab lehrte er an der Staatlichen Schauspielschule in und wurde 1959 zum Professor ernannt. 1952 er Mitglied der Deutschen Akademie der Künste Berlin deren Vizepräsident er 1957-62 war. Er zahlreiche Meisterschüler u.a. Friedrich Goldmann und Reiner Ab 1954 war er mit der Choreografin Regisseurin Ruth Berghaus verheiratet. Der Sohn Maxim Dessau (* studierte an der Hochschule für Film und in Potsdam-Babelsberg und ist Filmregisseur.
Am 28. Juni 1979 starb Dessau Königs Wusterhausen.
Dessau komponierte Opern szenische Spiele Bühnen- Ballettmusiken Sinfonien und andere Orchesterwerke Stücke für Soloinstrumente sowie Vokalmusik. Seit den 1920er Jahren ihn das Interesse für Filmmusik u.a. verfasste Kompositionen für frühe Filme von Walt Disney Begleitmusik für Stummfilme und für den deutschen Tonfilm. Im Pariser Exil komponiert er a. das Oratorium Hagadah shel Pessach nach einem Libretto von Max Brod . In den 1950er Jahren konzentrierte sich Schaffen in Zusammenarbeit mit Bertolt Brecht auf das Musiktheater in dieser Zeit seine Opern. Außerdem schrieb er Gebrauchsmusik für Propaganda der DDR. Er setzte sich zugleich für die Kompositionen der musikalischen Avantgarde (z.B. Witold Lutoslawski Alfred Schnittke Boris Blacher Hans Werner Henze und Luigi Nono ) ein.
" Alice und ihre Feuerwehr" (21.8.1928) "Alice und die Flöhe" (25.9. 1928) "Alice und die Wildwest-Banditen" (18.10.1928) und "Alice und der Selbstmörder" (31.1.1929) von Walt Disney
"Der verzauberte Wald" (7.9.1928) und "Die Wunderuhr" (12.11.1928) von Ladislas Starewitch
"Doktor Doolittle und seine Tiere" (15.12.1928) von Lotte Reiniger mit Arrangements Musiken von Kurt Weill Paul Hindemith und einer eigenen Komposition
Musikalische Leitung in Musik- und Operettenfilmen mit Richard Tauber (u.a. "Das Land des Lächelns" "Melodie der Liebe" ). mit Melodien von Franz Lehár und Bronislaw Kaper
"Stürme über dem Montblanc" "Der weiße Rausch" und "S.O.S. Eisberg" von Arnold Fanck
Fritz Henneberg "Dessau - Brecht. Musikalische Arbeiten." Berlin Henschel 1963
Fritz Hennenberg "Paul Dessau. Eine Biographie." Leipzig VEB Deutscher Verlag für Musik
Paul Dessau "Notizen zu Noten" Hg. v. Fritz Henneberg Leipzig Reclam
Paul Dessau " Aus Gesprächen" . Leipzig VEB Deutscher Verlag für Musik
Joachim Lucchesi (Hg.) " Das Verhör in der Oper. Die Debatte die Aufführung »Das Verhör des Lukullus« von Brecht und Paul Dessau." Berlin BasisDruck 1993
