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Pendel


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Ein Pendel (lat. pendere "hängen") besteht aus einem Gewicht am einer flexiblen oder starren Aufhängung (zum Beispiel oder Stab). Lenkt man ein Pendel aus vertikalen Ruhelage aus schwingt es unter dem der Schwerkraft zurück und wird ohne den Einfluss Dämpfung symmetrisch um den zentralen tiefsten Punkt (seiner schwingen.

Die regelmäßige Schwingungsperiode eines Pendels wurde der Konstruktion der ersten mechanischen Uhren genutzt.

Mathematische Beschreibung

Bei kleinen Auslenkwinkeln φ (< = kann man die Bewegung eines idealen Pendels Pendel) d.h. einer Punktmasse an einem masselosen näherungsweise durch eine harmonische Schwingung beschreiben.

Die allgemeine Differentialgleichung zur Beschreibung eines solchen Pendels ist

<math> \ddot{\varphi} = - \frac{g}{l}\sin\varphi </math>

wobei <math>\ddot{ }</math> für die zweite Ableitung nach der Zeit g für die Fallbeschleunigung (siehe auch: Gravitationskonstante ) l für die Länge und m für die Masse des Pendels stehen.

Bei kleinem Auslenkungswinkel φ gilt

<math> \sin \varphi \approx \varphi </math>

so dass sich die Gleichung zu

<math> \ddot{\varphi} \approx -\frac{g}{l} \varphi</math>

vereinfacht. Man erhält als spezielle Lösung

<math> \varphi(t) = \varphi_{max} \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t\right)

eine harmonische Schwingung ( Cosinus -Funktion).

Da echte Pendel immer mehr als ausgelenkt werden verhalten sie sich in Wirklichkeit nichtlinear . Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Zwei aneinander befestigte Pendel bilden ein Doppelpendel dessen Bewegungsabläufe in der Regel chaotisch sind.

Während ein Pendel nach obiger Differentialgleichung cos-förmige Bewegung aufweist erzeugen linear gekoppelte Pendel Beispiel über Federn) komplexere Schwingungsmuster aus Überlagerungen sog. Eigenschwingungen oder Moden mit zugehörigen Eigenfrequenzen.

Siehe auch: Foucaultsches Pendel Pendeluhr Physik Federschwingung Wasserschwingung Physikalisches Pendel in einem Oszillator Eigenwert .



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