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Periodische Funktion


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In der Mathematik versteht man unter einer periodischen Funktion mit der Periode p eine Funktion f ( x ) für die für alle x aus der Definitionsmenge gilt:
f ( x + p ) = f ( x ).

Jedes ganze Vielfache einer Periode ist eine Periode man interessiert sich daher meist die kleinste Periode . Diese existiert für jede nichtkonstante periodische (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder Periode.)

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen insbesondere der Sinus der wenn man ihn graphisch darstellt immer gleichbleibende Schwingung zwischen -1 und 1 die sich im Abstand von 2π (π die Kreiszahl pi) wiederholt.

Die gleiche Definition kann natürlich auch Folgen angewendet werden. Siehe zum Beispiel Periode (Mathematik) für eine Beschreibung der periodischen Ziffernfolgen Dezimalbrüchen.

Für Funktionen die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden kann die auch in eine nichtreelle Richtung gehen. Zum ist die komplexe Exponentialfunktion periodisch mit der kleinsten Periode 2πi der imaginären Einheit i).

Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher deren Definitionsbereich z.B. die Ebene R 2 ist kann es auch mehrere kleinste geben. Die Funktion f von R 2 nach R definiert durch

<math>f(x y) = \sin(x) \cdot \sin(y/3)</math>
ist periodisch mit den kleinsten Perioden 0) und (0 6&pi). Das heißt für ganzen Zahlen m n gilt
<math>f(x+2m\pi y+6n\pi) = f(x y)</math>.




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