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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSonntag, 22. Oktober 2017 

Pfadintegral


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Das Pfadintegral ist ein mathematisches Konstrukt das in der physikalischen Feldtheorie verwandt wird.

Das Pfadintegral besteht aus im Grenzwert vielen nacheinander auszuführenden ein- oder mehrdimensionalen Integralen; ist unbedingt zu unterscheiden von dem Kurvenintegral der Funktionentheorie und Vektoranalysis. Die Verwechslungsgefahr rührt vor aus dem Englischen in dem sowohl das als auch das Kurvenintegral path integral genannt werden. Zur Unterscheidung wird das im Englischen auch functional integral genannt. Die mathematische Präzisierung des Pfadintegrals in die Funktionalanalysis .

Pfadintegral in der Physik

Die so genannte Pfadintegralmethode wird insbesondere in der Quantenmechanik und in der Quantenfeldtheorie angewendet.

Beispiel

Im klassischen Fall bewegt sich ein Teilchen (ohne Potenzial ) nur auf einer Geraden von einem A zu einem Punkt B. Der Weg es beschreibt kann man mit dem Prinzip kleinsten Wirkung berechnen in diesem Fall trivialerweise Gerade. (Ein Beispiel für einen Fall mit ist der eines Lichtstrahls der Medien unterschiedlicher Dichte passiert hier ist der günstigste Weg Weg) keine Gerade mehr.) Umgekehrt kann man sich bewegenden Teilchen eine Wirkung zuordnen: Das der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie Startzeitpunkt an dem sich das Teilchen in befindet bis zum Endzeitpunkt an dem sich Teilchen in B befindet.

Mit einem Pfadintegral integriert man nun nicht nur über klassischen Pfad sondern über alle Pfade das das Teilchen gelangt nun von A nach auf allen möglichen Pfaden. Man nennt das Summe aller Pfade. Die Amplitude ist bei jedem Pfad gleich aber Phase die von der jeweiligen Wirkung bestimmt ist unterschiedlich. Somit trägt der klassische Pfad meisten bei da bei ihm die Wirkung wenigsten variiert. Wenn die Wirkung variiert hebt hingegen der größte Teil des Integrals weg. Wirkungen die groß gegen das Plancksche Wirkungsquantum sind oszilliert der Integrand so schnell sich alles weghebt (klassischer Grenzfall). In der jedoch sind die Wirkungen in der Größenordnung dem Planckschen Wirkungsquantum so dass auch Pfade dem klassischen einen Beitrag liefern.

Im Ganzen ist das Pfadintegral ein für einen Propagator das heißt wenn man berechnet hat und die Wahrscheinlichkeitsamplitude einer Wellenfunktion einem Zeitpunkt und an einem Ort kennt weiß man mit dem Propagator (nach Integration alle Anfangsorte) auch die Wahrscheinlichkeitsamplitude zu einem Zeitpunkt.



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