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Platonischer Körper


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Seit Platon (ca. 428 - 347 v. Chr. ) sind die fünf einzig möglichen Polyeder (Vielflächer) bekannt deren Begrenzungsflächen alle kongruente regelmäßige Vielecke sind und deren Ecken die gleiche Zahl angrenzender Flächen/Kanten haben. Diese Polyeder wurden in Platons Akademie intensiv untersucht. hinaus gibt es noch die 13 sogenannten oder Archimedischen Körper . Sie bestehen allesamt auch aus regelmäßigen jedoch mit unterschiedlichen Eckenzahlen und die einzelenen müssen durch Symmetrieabbildung aufeinander abgebildet werden können.

Inhaltsverzeichnis

Warum die Zahl der Platonischen Körper sein muss

Jede Ecke eines konvexen Polyeders zeigt außen". Dies ist nur möglich wenn die der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinander treffenden kleiner als 360° ist -- denn bei bildet man keine Ecke mehr sondern eine und über 360° "passt" das ganze überhaupt mehr. Mindestens 3 Flächen treffen sich an Ecke eines Polyeders. Daher dürfen an der eines platonischen Körpers nur aneinanderstoßen: 3 4 5 Dreiecke 3 Vierecke oder 3 Fünfecke. Dreiecke 4 Vierecke oder 3 Sechsecke ergeben schon 360° und 4 Fünfecke überschreiten die bereits. Somit gibt es nur 5 mögliche und damit nur 5 mögliche Platonische Körper.

Tetraeder

Tetraeder (4 Ecken 6 Kanten 4 Dreiecke Flächen)

Hexader und Oktaeder

  • Hexaeder und Oktaeder stehen in Zusammenhang miteinander. zeigt sich darüber das beide zu dem Kuboktaeder und dem zu dem Rhombendodekaeder welches der Dual-Archimedische Körper zu dem ist führen Auch die identische Anzahl der und die vertauschte Anzahl der Flächen und (wo der Hexaeder seine Flächen hat hat Oktaeder seine Ecken und umgekehrt).

Hexaeder

  • Hexaeder oder Kubus oder Würfel (8 12 Kanten 6 Quadrate als Flächen)

  • Der Hexaeder gehört auch zu den Prismen mit einer ähnlichen Sonderstellung wie es Tetraeder zu den Pyramiden besitzt.
  • Der Hexaeder läßt sich so in Teile schneiden das die Schnittfläche ein gleichseitiges ergibt. Vier solcher Sechsecke stecken in einem

Oktaeder

  • Oktaeder (6 Ecken 12 Kanten 8 gleichseitige als Flächen)

Dodekaeder und Ikosaeder

Wie Hexaeder und Oktaeder stehen auch und Ikosaeder in enger Beziehung zueinander. Ihre Archimedischen Körper sind der Europafußball und der zu diesem duale Rhombentriakontaeder .

Dodekaeder

  • Dodekaeder (20 Ecken 30 Kanten 12 regelmäßige als Flächen)

Ikosaeder

  • Ikosaeder (12 Ecken 30 Kanten 20 gleichseitige als Flächen)

Der Eulersche Polyedersatz stellt die Anzahl der Flächen Ecken Kanten zueinander in Bezug:

Flächen + Ecken = Kanten +
(Diese Formel gilt für alle konvexen und viele andere Polyeder nicht nur die Platonischen Körper.)

Tetraeder Würfel und Oktaeder kommen in Natur als Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich in

Die Körper wurden im antiken Griechenland Elementen zugeordnet: Feuer : Tetraeder Wasser : Ikosaeder Luft : Oktaeder Erde : Würfel Geist / Quintessenz oder Äther : (Dodekaeder).

Jeder platonische Körper hat eine Innenkugel die alle seine Flächen berührt und Außenkugel auf der alle seine Ecken liegen. Johannes Kepler gelang es 1596 die Bahnradien der damaligen sechs Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Bei Suche nach solchen Harmonien entdeckte er auch zwei regelmäßige Sternkörper.

Eine eher moderne Anwendung finden die Körper als Würfel im Fantasy-Rollenspiel .

Die hohe Symmetrie der Platonischen Körper auch in ihren Punktgruppen zum Ausdruck: siehe Tetraedergruppe Ikosaedergruppe .

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