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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 31. Oktober 2014 

Polstelle


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Eine Polstelle einer Funktion in der Mathematik liegt vor wenn die Beträge der der Funktion in der Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden (gegen Unendlich streben).

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert also plus oder unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle vertikale Asymptote .

Polstellen treten etwa bei Funktionen f ( x ) auf die als Bruch zweier Funktionen u ( x ) und v ( x ) entstehen:

<math>f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} </math>
Wenn die Nennerfunktion v ( x ) eine Nullstelle besitzt die Zählerfunktion aber nicht Null liegt eine Polstelle vor. Der Fall das und Nennerfunktion gleichzeitig Null werden ist im " Stetig behebbare Definitionslücke " behandelt.

Polstellen treten aber nicht nur bei Division von Funktionen mit Nullstellen auf. Die Logarithmus - und die Tangensfunktion sind Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

Spezialfall rationaler Funktionen

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

<math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} </math>
wobei u ( x ) und v ( x ) Polynomfunktionen sind.

Da u ( x ) und v ( x ) Polynome sind ist ihr Verhalten an Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also u ( x ) und v ( x ) an der Stelle x o eine Nullstelle haben so ist immer

<math> u(x) = ( x - )^{N_u} \; s(x) </math>
und
<math> v(x) = ( x - )^{N_v} \; t(x) </math>
wobei
<math> s(x_o) \ne 0 \and t(x_o) 0. </math>
Die Terme <math> N_u </math> und N_v </math> bezeichnet man auch als die der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren Nullstellen kürzen.

Wenn <math> N_u > N_v </math> liegt eine Nullstelle vor.
Wenn <math> N_u = N_v </math> liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor wobei der Wert durch <math> / t(x_o) </math> gegeben ist.
Wenn <math> N_u < N_v </math> liegt eine Polstelle vor.
Derartige Polstellen werden nach ihrer Ordnung N u - N v bezeichnet.

Beispiel

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{x} </math>
hat einen Pol 1. Ordnung bei x =0.

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{(x-2)^3} </math>
hat einen 3-fachen Pol bei x =2.

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{x+2}{x^3+x^2-1-1} = \frac{(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}
hat für x =-1 eine Polstelle der Ordnung 2 und x =1 eine Polstelle 1. Ordnung.

Ordnung von Polstellen

Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle. Bei Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der Ergebnisse deutlich.

Ein Pol gerader Ordnung liegt vor der Graph sowohl links als auch rechts Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein Vorzeichen.

Allgemeine Funktionen

Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen sind individuell zu untersuchen.

Untersuchungsmethoden stammen aus der Analysis.

Beispiele

Die Funktion (Kehrwert des Sinus )

<math> f(x) = \frac{1}{\sin x} </math>
hat einfache ungerade Pole bei allen Vielfachen von π .

Die Tangens -Funktion

<math> f(x) = \tan x </math>
hat ungerade Pole bei allen x =( n +1/2)π ( n ganzzahlig).

Die Logarithmus -Funktion

<math> f(x) = \log x </math>
hat einen Pol an der Stelle x =0 und ist im Reellen für negative Werte undefiniert.



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