Polstelle

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert also plus oder unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle vertikale Asymptote .

Polstellen treten etwa bei Funktionen f ( x ) auf die als Bruch zweier Funktionen u ( x ) und v ( x ) entstehen:

<math>f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} </math>

Polstellen treten aber nicht nur bei Division von Funktionen mit Nullstellen auf. Die Logarithmus - und die Tangensfunktion sind Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

1 Spezialfall rationaler Funktionen 1.1 Beispiel 1.2 Ordnung von Polstellen 2 Allgemeine Funktionen 2.1 Beispiele

Spezialfall rationaler Funktionen

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

<math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} </math>

Da u ( x ) und v ( x ) Polynome sind ist ihr Verhalten an Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also u ( x ) und v ( x ) an der Stelle x _o eine Nullstelle haben so ist immer

<math> u(x) = ( x - )^{N_u} \; s(x) </math>

<math> v(x) = ( x - )^{N_v} \; t(x) </math>

<math> s(x_o) \ne 0 \and t(x_o) 0. </math>

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren Nullstellen kürzen.

Wenn <math> N_u > N_v </math> liegt eine Nullstelle vor.

Wenn <math> N_u = N_v </math> liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor wobei der Wert durch <math> / t(x_o) </math> gegeben ist.

Wenn <math> N_u < N_v </math> liegt eine Polstelle vor.

Beispiel

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{x} </math>

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{(x-2)^3} </math>

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{x+2}{x^3+x^2-1-1} = \frac{(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}

Ordnung von Polstellen

Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle. Bei Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der Ergebnisse deutlich.

Ein Pol gerader Ordnung liegt vor der Graph sowohl links als auch rechts Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein Vorzeichen.

Allgemeine Funktionen

Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen sind individuell zu untersuchen.

Untersuchungsmethoden stammen aus der Analysis.

Beispiele

Die Funktion (Kehrwert des Sinus )

<math> f(x) = \frac{1}{\sin x} </math>

Die Tangens -Funktion

<math> f(x) = \tan x </math>

Die Logarithmus -Funktion

<math> f(x) = \log x </math>

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