Polygon

Die Strecken <math>\overline {P_i P_{i+1}} \left(i=1 n-1 \right)</math> und <math>\overline { P_n P_1 bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons alle anderen Verbindungsstrecken <math>\overline P_i P_j }</math> zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens 3 paarweise einander verschiedene Eckpunkte.
• Die Kanten schneiden (berühren) sich nur den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon als überschlagen .

In einigen Fällen wird die Kante { P_n P_1 }</math> nicht mitgezählt und Polygon als offen bezeichnet falls <math> P_n \ne P_1</math>

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Beziehungen 2 Typische Vertreter 3 Spezielle Typen 4 Berühmte Vielecke 5 Weblinks

Mathematische Beziehungen

In einem nicht überschlagenen n -Eck ist die Summe der Innenwinkel

<math> \alpha_1+...+\alpha_n = (n - 2) 180^\circ</math>

Typische Vertreter

• Dreieck
• Viereck
  • Quadrat (Geometrie)
  • Rechteck
  • Trapez
  • Parallelogramm
  • Drachenviereck
• Fünfeck
• Sechseck

Spezielle Typen

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein; ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel dann wird es als reguläres oder regelmäßigen Vieleck bezeichnet. Ein reguläres hat stets einen Umkreis mit Radius <math>r_u</math> und einen Inkreis mir Radius <math>r_i</math>. Die Länge jeder wird mit <math>a</math> bezeichnet. Daraus ergeben sich Formeln:

• Flächeninhalt:
  <math> A \ = \ \frac{n}{2}\ a\ \ = \

 \frac{n}{2}\ r_u^2 \ \sin \left( \frac{2 }{n} \right) \ = \  

• Inkreisradius:
  <math>r_i = \frac{a}{2} \cot \frac{180^\circ}{n}</math>

• Umkreisradius:
  <math>r_u = \frac{a}{2 \sin \frac{180^\circ}{n}}</math>

Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein.

Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

Berühmte Vielecke

• das Pentagon
• das Pentagon in Kronach
  • die Veste Rosenberg zeigt ein Fünfeck Grundriss

Weblinks

• http://geochron.geologie.univie.ac.at/maths/daten/kap_3/node42.htm
• http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/polygon.htm - Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• http://www.konradlischka.de/nhproben285.htm - In siebzig Millionen Polygonen um Welt
• http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/VisPolygon/ - Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• http://www.gris.uni-tuebingen.de/projects/grdev/doc/html/german/1.3.3.html - Rasterung von Polygonen

Bücher zum Thema Polygon

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