Polynom

Inhaltsverzeichnis

1 Polynome in der elementaren Algebra 1.1 Definition 1.2 Eigenschaften 2 Polynome in der abstrakten Algebra 2.1 Definition 2.2 Polynomfunktion 2.3 Polynomring 3 Verallgemeinerung 4 Siehe auch

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P ( x ) der Form

<math>P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_nx^n + + \cdots + a_2x^2 + a_1x + </math>

wobei als Definitionsbereich jeder beliebige Ring in Frage kommt meist werden aber ganzen Zahlen oder die reellen Zahlen genommen.

Die a _i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet dessen zugehöriger Koeffizient a _n nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient . Ist der Leitkoeffizient 1 dann heißt Polynom normiert . Der Koeffizient a ₀ heißt Absolutglied . Beispielsweise ist 2x³ - 7x² + x ein Polynom vom Grad 3 mit 2 und Absolutglied 0.

Polynome des Grades

• 0 werden konstante Funktionen genannt (z.B. P(x) = -1).
• 1 werden lineare Funktionen genannt (z.B. P(x) = 3x +
• 2 werden quadratische Funktionen genannt (z.B. P(x) = 3x² - + 2).
• 3 werden kubische Funktionen genannt (z.B. P(x) = 4x³ - + 7x - 2).

Eigenschaften

Polynome sind von besonderer Bedeutung weil die einfachsten Funktionen bilden die insbesondere leicht differenzieren und integrieren sind. Daher gibt es viele (erfolgreiche) komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z.B. Taylor-Formel ).

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet für die der Wert von Null ist. Sie sind also die Lösungen Gleichung P(x) = 0. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt dass ein Polynom vom Grad n höchstens n reelle Nullstellen hat und genau n komplexe . Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Die Nullstellen von Polynomen ersten zweiten und vierten Grades lassen sich mit Formeln berechnen (z.B. pq-Formel ). Polynome höheren Grades lassen sich nur Spezialfällen exakt faktorisieren.

Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion unabhängig von den Koeffizienten.

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

<math>f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} \cdots + a_1 X + a_0 </math>

Zwei Polynome sind genau dann gleich sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden addiert und die Multiplikation ergibt sich mit Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X ^m · X ⁿ = X ^{m + n} für natürliche Zahlen m n .

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von X ein Element x des Rings R einsetzt erhält man ein Element f ( x ) von R als Bild. Diese Zuordnung x -> f ( x ) ist eine Funktion von R nach R die von f induzierte Funktion eine Polynomfunktion .

Zum Beispiel ist

f = X ² + 1

f ( x ) = x ² + 1 x aus Z

Für Polynome über den reellen oder Zahlen gibt es eine eineindeutige Zuordnung zwischen und Polynomfunktionen; stammen die Koeffizienten jedoch aus endlichen Ring dann gibt es verschiedene Polynome dieselbe Funktion induzieren: Z.B. induzieren f = X ² + 1 und g = 0 auf dem Restklassenring Z /2 Z dieselbe Funktion f ( x ) = g ( x ) = 0.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R [ X ]. Sie ist mit der oben angegebenen und Multiplikation ein Ring der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über Ring R bildet einen Ring der jedoch nur betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring- Homomorphismus von R [ X ] in den Ring der Polynomfunktionen dessen Kern die Menge der Polynome ist die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring .

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von der Form a _ij x _i ^j als Polynom:

<math>P(x_0 \ \dots \ x_n) = \sum_{i a_{ij}x_i^j</math>

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

<math>f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>

Lässt man auch negative Exponenten zu:

<math> f = \sum_{i=-\infty}^\infty a_i X^i</math>

Siehe auch

Bücher zum Thema Polynom

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