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Potenzreihe


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Eine Potenzreihe - ein Begriff aus der Mathematik - hat im Allgemeinen die Form
<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>

<math>a_n</math> sei hierbei eine beliebige Folge .

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle <math>x_0</math> die kleinste Zahl <math>r</math> definiert für welche Potenzreihe für alle <math>x</math> mit <math>|x-x_0|<r</math> konvergiert .

Bei Potenzreihen lässt sich durch die Formel von Cauchy-Hadamard der Konvergenzradius <math>r</math> der Potenzreihe berechnen heißt die Werte von <math>x</math>-<math>x_0</math> für die Reihe konvergiert . Es gilt:
<math>r=\frac{1}{\limsup(\sqrt[n]{|a_n|})}</math>

<math>|x-x_0|<r \Rightarrow</math> die Potenzreihe ist absolut konvergent

<math>|x-x_0|>r \Rightarrow</math> die Potenzreihe ist divergent

<math>|x-x_0|=r</math> ist jeweils separat zu untersuchen.

Siehe auch: Reihe (Mathematik) Laurentreihe Taylorreihe



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