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Prädikat (Logik)


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Das Prädikat in der syllogistischen Logik

Spätestens seit Aristoteles wird in der logischen Analyse von einfachen (kategorischen) Aussagen und Urteilen unterschieden zwischen dem von dem etwas gesagt wird (der Gegenstand das Subjekt ) und dem das von etwas gesagt wird (das Prädikat ). Dabei meint im strengen Sinn Subjekt Gegenstand von dem etwas gesagt wird und das was ihm in der Ausage zugeschrieben wie z.B. eine Eigenschaft . Der Teil der Aussage der auf Gegenstand verweist ist dagegen der Subjektsterm und der Teil der Aussage die Subjekt das Prädikat zuschreibt der Prädikatsterm . Faktisch wird aber (anders als in Artikel) in der Regel "Subjekt" auch im von "Subjektsterm" und "Prädikat" im Sinne von verwandt. Der Akt der Zuschreibung selbst ist Prädikation .

Beispiele von einfachen Aussagen sind:

  1. Sokrates ist ein Mensch.
  2. Der Hund meines Nachbarn schläft.
  3. Sokrates liebt es bei langen Weinabenden über zu diskutieren.

In den Beispielen 1 und 3 Sokrates (der Mensch) das Subjekt "Sokrates" (der Teil der Aussagen 1 und 3) der Im Beispiel 2 ist der Hund meines (das Tier das mich jeden morgen anbellt) Subjekt und "Der Hund meines Nachbarn" der

Beispiel 2 zeigt dass grammatikalisches Subjekt Hund") und logisches Subjekt (genauer:Subjektsterm) nicht übereinstimmen (Grammatikalisch ist "meines Nachbarn" konstitutives Attribut zum

Die Prädikate in den Beispielsätzen sind Eigenschaften ein Mensch zu sein zu schlafen und es zu lieben bei langen Weinabenden über zu diskutieren . Die Prädikatsterme sind "ist ein Mensch" und "liebt es bei langen Weinabenden über zu diskutieren".

Das erst und letzte Beispiel zeigen das logisches Prädikat (genauer: der Prädikatsterm) nicht dem grammatikalischem Prädikat ("ist" bzw. "liebt") übereinstimmen (Grammatikalisch ist "ein Mensch" ein Gleichsetzungsnominativ "bei Weinabenden über Philosophie zu diskutieren" ein Akkusativobjekt.)

Als Teile einer einfachen Aussage sind und Subjektsterm unvollständig und selbst keine Aussagen. können nicht für sich wahr oder falsch

Im Beispiel 1 ist der Prädikatsterm zwei Teilen zusammengesetzt: Der Kopula "ist" und dem Prädikatsnomen "der Mensch". der Syllogistik hat es sich eingebürgert auch Prädikate in Beispielen 2 und 3 in Form zu schreiben da sie dann im des formalen syllogistischem Schließens unmittelbar verwendbar sind. Also etwa:

  • Der Hund meines Nachbarn ist ein
  • Sokrates ist ein Badener .

Im weiteren Sinn können auch Relationen also Beziehungen zwischen zwei oder mehr als Prädikate verstanden werden. In der Aussage ist ein Schüler von Platon" wäre dann Beziehung des "Schülerseins von" (als Prädikat) von in Bezug auf Platon ausgesagt. Prädikatsterm ist ein Schüler von" "Sokrates" und "Platon" sind Bei dem Beispiel handelt es sich um Beziehung zwischen zwei Gegenständen. Das Prädikat (bzw. der Prädikatsterm) deshalb " zweistellig " genannt. Abhängig von der Zahl der zwischen denen eine Beziehung ausgesagt wird spricht auch von "drei-" "vier-" usw. "stelligen" Prädikaten allgemeiner von "n-" oder unbestimmt "mehrstelligen".

Das Prädikat in der mathematischen Logik

Anders als die traditionelle Syllogistik untersucht moderne mathematische Logik nicht das logische Schließen Hilfe normalsprachiger Sätze sondern das Schließen in beschriebenen formalen Sprachen bzw. Systemen. Für Prädikatenkalküle gehören zu den beschriebenen Ausdrücken der ein- und mehrstellige Prädikatensymbole Prädikatenkonstanten bzw. Prädikatoren oft geschrieben als Großbuchstaben gefolgt von Klammerausdruck mit durch Komma getrennte Leerstellen. Ein Prädikatensymbol wäre also z.B. " P ( )" ein zweistelliges " S ( )". Diese Prädikatensymbole entsprechen den Prädikatstermen syllogistischen Logik.

In der Interpretation einer formalen Sprache Prädikatenkalküls wird einem jeden Prädikatensymbol " P ( ...)" eine Relation P in der Menge aller Invidividuen (Gegenstände. der in dieser Interpretation betrachteten Welt dem genannten universe of discourse zugeordnet. (Das universe discourse ist also die Gesamtheit aller Gegenstände denen in der betrachteten Interpretation in der betrachteten Sprache die Rede Dabei werden einstellige Prädikatensymbole auch einstelligen Relationen Prädikatensymbole zweistelligen Relationen usw. zugeordnet.

Außerdem kann einem jedem n-stelligen Prädikatensymbol P ( ...)" ein Prädikat d.h. eine Funktion P ( x 1 x 2 ... x 1 ) aus der Menge des Kartesischen Produkts U n in die Menge der Wahrheitswerte {Wahr zugeordnet werden so dass P ( x 1 x 2 ... x n ) = Wahr genau dann wenn für " P ( ...)" zugeordnete Relation P gilt: ( x 1 x 2 ... x n ) ∈ P

Gegeben die Definition bzw. Konstruktion von P und P ( x 1 x 2 ... x n ) gilt für alle ( x 1 x 2 ... x n ) ∈ U :

( x 1 x 2 ... x n ) ∈ P &hArr P ( x 1 x 2 ... x n ) = Wahr

Deshalb werden ( x 1 x 2 ... x n ) &isin P und P ( x 1 x 2 ... x n ) auch als gleichbedeutend verwendet.

Als einfaches Beispiel eine Dreiecksgeschichte. Das of discourse U besteht aus Ulrich Heiner und Anna:

U = {Ulrich Heiner Anna}

Wir haben zwei Prädikatssymbole " F ( )" (einstellig) und " L ( )" (zweistellig). Wir ordnen das Prädikatensymbol F ( )" der einstelligen Relation (d.h. einer von U ) {Anna} zu. Das Prädikatensymbol " L ( )" der zweistelligen Relation {(Anna Heiner) Anna) (Ulrich Anna)}. Unsere Prädikate sind F ( x ) und L ( x 1 x 2 ). F ( x ) ist genau dann wahr wenn x = Anna. In unserer Interpretation gilt F (Anna).

Die weitere Entwicklung des Dramas bleibt Übung dem Leser überlassen.



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