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Prädikatenlogik


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Die Prädikatenlogik oder Logik erster Ordnung ist ein Teilgebiet der Logik . Man kann sie als Erweiterung der ansehen die zusätzlich zur Verknüpfung von Aussagen (z.B. durch und oder oder ) auch die Eigenschaften von Objekten und Geltungsbereiches betrachtet wobei erstere durch Prädikatssymbole und Funktionssymbole letztere durch Quantoren beschrieben Die Grundlagen für eine formale Sprache der (erster Ordnung) wurde von Ludwig Gottlob Frege 1879 in seiner "Begriffsschrift" gelegt.

Die Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen

  • "Es gibt ein Objekt mit der ...."
  • "Für alle Objekte XY gilt ...."

Beispiel:

  • "Alle Metalle leiten den Strom."
  • "Kupfer ist ein Metall."

Daraus lässt sich auch ohne den der Prädikatenlogik schließen:

  • "Kupfer leitet den Strom."

In diesem Beispiel stellt in der Aussage "Alle" einen Quantor dar "leiten den ist ein Prädikat zu "Metalle". In der zweiten Aussage "ist ein Metall" ein Prädikat zu "Kupfer".

Die Prädikatenlogik gibt einen formalen Rahmen für diese konkrete Schlussfolgerung und darüber für viele andere weniger offensichtliche Fälle.

Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe (englisch: first-order predicate calculus oder first order logic FOL). Diese zeichnet sich dadurch aus Sätze des Typs "für jede Eigenschaft E folgendes..." nicht behandelt werden. Trotz dieser Einschränkung sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe ganze Mengentheorie formalisieren und damit gewissermaßen fast das Gebiet der Mathematik. Die Prädikatenlogik ist die Logik die der Mathematik zugrunde liegt.

Wie jeder Logikkalkül besteht die Prädikatenlogik

  • Angaben wie man systematisch formal korrekte konstruiert
  • einer Menge von Axiomen von denen einzelne Axiom ebenfalls eine formal korrekte Formel
  • einer Menge von Regeln die erlauben (Theoreme) aus früher hergeleiteten Sätzen oder den herzuleiten.

Formal fügt die Prädikatenlogik der Aussagenlogik den Wahrheitsgehalt kombinierter Aussagen untersucht folgende Elemente

  1. Die Sätze sind hier in Erweiterung Aussagenlogik mit Quantoren versehen die Aussagen über Lösungszahl machen. Der ALL-Quantor (∀) sagt dass alle betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) zutrifft.
  2. Der EXISTENZ-Quantor (∃) sagt dass mindestens ein Element der betrachteten Elemente oder Elementkombinationen (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.

Mathematische Erweiterungen der Logik erster Ordnung unter anderem die Modallogik Temporale Logik Dynamische Logik Aktionslogik und

Inhaltsverzeichnis

Verneinung von Aussagen "Für alle ..."

Will man eine Aussage "für alle gilt die Aussage A" verneinen dann erreicht dies zunächst durch Voranstellen von "nicht" und "Ausmultiplizieren":

¬(für alle Objekte gilt die Aussage ⇔ Es existiert (mindestens) ein Objekt mit (A ist nicht wahr)
Kurz: ¬(∀A) ⇔ ∃(¬A)

Beispiel 1 : Alle Autos sind grün.
Verneinung: Nicht alle Autos sind grün Es gibt (mindestens) ein Auto das nicht ist. (Natürlich gibt es auch grüne Autos.)

Beispiel 2 : Für alle ganzen Zahlen n gilt: 2 ist eine Primzahl.
Verneinung: Es gibt (mindestens) eine ganze n mit der Eigenschaft n 2 ist keine Primzahl.

Verneinung von Aussagen "Es existiert ..."

Will man eine Aussage "Es existiert eine ganze Zahl n für die gilt: A(n) ist wahr" verneinen dann erreicht man zunächst durch Voranstellen von "nicht" und späteren

¬(Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl für die gilt: Aussage A(n) ist wahr) Für alle ganzen Zahlen n gilt ¬A(n)
Kurz: ¬(∃A) ⇔ ∀(¬A)

Beispiel 1 : Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl mit der Eigenschaft: n ist durch 3 und n ist nicht durch 6 teilbar.
Verneinung: Für alle ganzen Zahlen n ¬(n ist durch 3 teilbar und n nicht durch 6 teilbar) ⇔ Für alle Zahlen n gilt: n ist nicht durch teilbar oder n ist durch 6 teilbar.

Beispiel 2 : Es gibt (mindestens) einen Deutschen der
Verneinung: Alle Deutschen sagen die Wahrheit.

Rechenregeln für Quantoren

<math>\exists x ( P(x) \vee Q(x) ) \exists x P(x) \vee \exists x Q(x)</math>
<math>\forall x ( P(x) \wedge Q(x) ) \forall x P(x) \wedge \forall x Q(x)</math>

<math>\neg \exists x P(x) \Leftrightarrow \forall x P(x)</math>
<math>\neg \forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x P(x)</math>

<math>\forall x P(x) \vee \forall x Q(x) \forall x ( P(x) \vee Q(x) )</math>
<math>\exists x ( P(x) \wedge Q(x) ) \exists x P(x) \wedge \exists x Q(x)

<math>\forall x (P \vee Q(x)) \Leftrightarrow P \forall x Q(x)</math>
<math>\exists x (P \wedge Q(x)) \Leftrightarrow P \exists x Q(x)</math>

<math>\forall x P(x) \rightarrow Q \Leftrightarrow \exists (P(x) \rightarrow Q)</math>
<math>\exists x P(x) \rightarrow Q \Leftrightarrow \forall (P(x) \rightarrow Q)</math>

<math>P \rightarrow \forall x Q(x) \Leftrightarrow \forall (P \rightarrow Q(x))</math>
<math>P \rightarrow \exists x Q(x) \Leftrightarrow \exists (P \rightarrow Q(x))</math>

Anwendung

Neben der Anwendung als Instrument für Informatik Mathematik und Linguistik findet die Prädikatenlogik insbesondere in der und Programmierung von Expertensystemen und künstlicher Intelligenz eine Rolle.

Formeln der Prädikatenlogik lassen sich beispielsweise der Programmiersprache Prolog automatisch handhaben.

Eine Form der Wissensrepräsentation kann mit einer Sammlung von Ausdrücken Prädikatenlogik erfolgen.

Der Relationenkalkül eine der theoretischen Grundlagen Datenbankabfragesprachen wie etwa SQL bedient sich ebenfalls der Prädikatenlogik als

Siehe auch

Logik Fehlschluss Syllogismus

Weblinks



Bücher zum Thema Prädikatenlogik

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