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Primfaktorzerlegung


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In der Mathematik versteht man unter der Primfaktorzerlegung auch als Zerlegung in Primfaktoren bezeichnet die Darstellung einer positiven natürliche Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen .

In der Zahlentheorie ist die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primzahlen . Z.B. ist

1200 = 2 · 2 · 2 2 · 3 · 5 · 5
6936 = 2 · 2 · 2 3 · 17 · 17

Die in der Primfaktorzerlegung einer Zahl Primzahlen nennt man die Primfaktoren dieser Zahl. Zum Beispiel hat 6936 Primfaktoren 2 3 und 17.

Dass die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen bis die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist ist des Fundamentalsatzes der Arithmetik .

Kanonische Darstellung

Meist fasst man gleiche Primfaktoren als Potenz zusammen. Den Exponenten eines Primfaktors p von n schreibt man als v p ( n ) man nennt ihn auch die p-adische Exponentenbewertung von n. Er spielt eine wichtige in der Theorie der p-adischen Zahlen . Man setzt noch v p ( n ) = 0 falls p kein Primfaktor von n ist. Damit erhält man die folgende kanonische Darstellung :

<math>n = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{v_p(n)}</math>

wobei das Produkt über die Menge P aller Primzahlen erstreckt wird. Dieses unendliche hat nur endlich viele von 1 verschiedene ist also eigentlich endlich. Oft beschränkt man daher bei der Angabe dieses Produkts auf Primteiler von n :

<math>n = \prod_{p \in \mathbb{P} \ p|n}

Zum Beispiel sind

1200 = 2 4 · 3 · 5²
6936 = 2 3 · 3 · 17²
die kanonischen Darstellungen von 1200 und

Lässt man auch negative Exponenten zu ist sogar jede positive rationale Zahl eindeutig als Produkt von Primzahl-Potenzen darstellbar. kanonische Darstellung von 1200/6936 lautet dann

1200/6936 = 2 · 5 2 · 17 -2

Eigenschaften

Die Primfaktorzerlegung der 1 besteht aus leeren Produkt (welches hier per Definition den 1 hat) und die einer Primzahl p besteht aus dem einzigen Faktor p . Eine natürliche Zahl die nicht selbst ist nennt man zusammengesetzt ; ihre Primfaktorzerlegung besteht aus mehr als Faktor (möglicherweise auch mehrmals demselben).

Verallgemeinerung

In einem kommutativen unitären Ring kann man den Begriff des Primelements definieren und fragen ob jedes Element Primfaktorzerlegung hat und ob diese eindeutig ist. stellt man fest dass dies nicht immer sein muss z.B. hat die Zahl 4 Ring Z [√-3] keine Primfaktorzerlegung.

Falls jedoch eine Primfaktorzerlegung existiert dann diese (bis auf Reihenfolge und Einheiten ) eindeutig.

In einem faktoriellen Ring existiert stets eine Primfaktorzerlegung.

Siehe auch: Faktorisierungsverfahren



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