Primzahlsatz

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Anzahl Primzahlen . Er wurde bereits von Gauss um 1800 vermutet aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Poussin bewiesen.

Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl Primzahlen p ≤ x. Formaler kann man

<math>\pi (x) = \# \{\ p x \ |\ p \in \mathbb{P} \}

Für natürliche Zahlen gilt nach einem Ergebnis von Godfrey Hardy (1979) auch die konkrete Formel

<math> \pi(n) = -1 + \sum_{j=3}^n (j-2)! -j \lfloor \frac{(j-2)!}{j} \rfloor \right] .</math>

In der ersten Gleichung bezeichnet das <math>\mathbb{P}</math> die Menge der Primzahlen. Die Schreibweise bedeutet "die Mächtigkeit der Menge {...}".
_{<math>x \mapsto \lfloor x \rfloor</math>} ist die Gaußklammerfunktion .

Bessere Approximationen als x /ln(x) liefert der sogenannte der definiert wird als

<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}x}{\ln x} .</math>

Auch für den Integrallogarithmus gilt Li(x) π(x). Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.

Weiterhin sei definiert: Zwei Funktionen f(x) g(x) mit x reelle Zahl heißen asymptotisch äquivalent in Formelschreibweise f(x) ~ g(x) wenn Quotient f(x) / g(x) für x gegen gegen 1 konvergiert.

Dann gilt folgender

Tschebyschev präzisierte 1851 den Primzahlsatz durch folgende Ungleichung:

<math>0.92929 \le \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1.1056

Adrien-Marie Legendre vermutete 1797/98 π(x) sei ungefähr gleich / (ln x - 1 08366).

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des sowie die Werte die sich aus Legendres ergeben.

x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)·ln(x) / x	Legendre
10	4	0 4000	4 34	0 9210	8
100	25	0 2500	21 71	1 1513	28
1 000	168	0 1680	144 76	1 1605	172
10 000	1 229	0 1225	1 085 74	1 1320	1 231
100 000	9 592	0 0959	8 685 89	1 1043	9 588
1 000 000	78 498	0 0785	72 382 41	1 0845	78 543
10 000 000	664 579	0 0665	620 420 69	1 0712	665 140
100 000 000	5 761 455	0 0576	5 428 681 02	1 0613	5 768 004
1 000 000 000	50 847 534	0 0508	48 254 942 43	1 0537	50 917 519

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte .

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