Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSonntag, 31. August 2014 

Primzahlsatz


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Anzahl Primzahlen . Er wurde bereits von Gauss um 1800 vermutet aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Poussin bewiesen.

Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl Primzahlen p ≤ x. Formaler kann man

<math>\pi (x) = \# \{\ p x \ |\ p \in \mathbb{P} \}

Für natürliche Zahlen gilt nach einem Ergebnis von Godfrey Hardy (1979) auch die konkrete Formel

<math> \pi(n) = -1 + \sum_{j=3}^n (j-2)! -j \lfloor \frac{(j-2)!}{j} \rfloor \right] .</math>

In der ersten Gleichung bezeichnet das <math>\mathbb{P}</math> die Menge der Primzahlen. Die Schreibweise bedeutet "die Mächtigkeit der Menge {...}".
<math>x \mapsto \lfloor x \rfloor</math> ist die Gaußklammerfunktion .

Bessere Approximationen als x /ln(x) liefert der sogenannte der definiert wird als

<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}x}{\ln x} .</math>

Auch für den Integrallogarithmus gilt Li(x) π(x). Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.

Weiterhin sei definiert: Zwei Funktionen f(x) g(x) mit x reelle Zahl heißen asymptotisch äquivalent in Formelschreibweise f(x) ~ g(x) wenn Quotient f(x) / g(x) für x gegen gegen 1 konvergiert.

Dann gilt folgender


Primzahlsatz : Die Funktionen π(x) und x / sind asymptotisch äquivalent bzw

<math>\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1 </math>.


Das bedeutet dass die Anzahl der die kleiner als x sind anhand der x / ln(x) abgeschätzt werden kann. Genauer Man weiß dass die Anzahl der Primzahlen die kleiner als x größer ist als der Wert x / ln(x) wobei die verhältnismäßige Differenz mit zunehmendem x geringer wird. Zum folgt daraus dass es mehr als (100000 ln 100000 = 8685 89) also mehr 8685 Primzahlen unter den ersten 100000 Zahlen

Tschebyschev präzisierte 1851 den Primzahlsatz durch folgende Ungleichung:

<math>0.92929 \le \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1.1056

Adrien-Marie Legendre vermutete 1797/98 π(x) sei ungefähr gleich / (ln x - 1 08366).

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des sowie die Werte die sich aus Legendres ergeben.
x π(x) π(x) / x x / ln(x) π(x)·ln(x) / x Legendre
10 4 0 4000 4 34 0 9210 8
100 25 0 2500 21 71 1 1513 28
1 000 168 0 1680 144 76 1 1605 172
10 000 1 229 0 1225 1 085 74 1 1320 1 231
100 000 9 592 0 0959 8 685 89 1 1043 9 588
1 000 000 78 498 0 0785 72 382 41 1 0845 78 543
10 000 000 664 579 0 0665 620 420 69 1 0712 665 140
100 000 000 5 761 455 0 0576 5 428 681 02 1 0613 5 768 004
1 000 000 000 50 847 534 0 0508 48 254 942 43 1 0537 50 917 519

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte .



Bücher zum Thema Primzahlsatz

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Primzahlsatz.html">Primzahlsatz </a>