Projektive Geometrie

Die Projektive Geometrie ist aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen hervorgegangen. Die projektive Geometrie ist eine spezielle Nichteuklidische Geometrie die es möglich macht unendlich ferne in ein leistungsfähiges Kalkül miteinzubeziehen. Zum Beispiel sich in der Projektiven Ebene zwei beliebige in einem (möglicherweise unendlich fernen) Punkt.

Projektive Geometrie findet in so genannten Räumen oder projektiven Ebenen statt. Wir definieren die projektive Ebene ausgehend von der euklidischen Ebene : Jeder Punkt in der Ebene lässt durch ein Paar von Koordinaten (x y) darstellen. Verschieben wir jetzt einen Punkt einer Ursprungsgerade immer weiter in Richtung unendlich bleibt das Verhältnis x : y stets konstant. Um diese Verschiebung ins formal zu beschreiben führen wir eine zusätzliche w ein gehen also in den 3-dimensionalen über und definieren eine Abbildung: <math>(x y \mapsto (x/w y/w)</math> Je größer w ist desto ferner ist der beschriebene von Nullpunkt. Für w = 0 ist die Abbildung nicht definiert es also kein Bildpunkt in der Euklidischen Ebene. Punkt (x y 0) repräsentiert in unserer Darstellung genau denjenigen der in Richtung der durch (x y) definierten Ursprungsgeraden unendlich nahe am Nullpunkt liegt. Beachte dass (x y w) und (tx ty tw) (t eine von Null verschiedene reelle durch den selben Punkt der euklidischen Ebene werden. Für den Punkt (0 0 0) haben wir keine sinnvolle Verwendung.

Nun können wir die projektive Ebene Die projektive Ebene ist der 3-dimensionale Raum Nullpunkt wobei zwei Punkte identifiziert werden wenn (x y w) = (tx ty tw) gilt.

Geometrisch kann man sich die projektive als Menge der Ursprungsgeraden im 3-dimensionalen Raum Projektive Räume höherer Dimensionen lassen sich analog

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