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Satz des Pythagoras


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Der Satz des Pythagoras ist ein mathematischer Satz der Geometrie . Er besagt dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des Quadrats über seiner Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleich der Summe der Flächen Quadrate über seinen Katheten ( a und b ) ist.

Mathematisch wird dies folgendermaßen ausgedrückt:

Sind a b c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypothenuse so gilt

<math>a^2 + b^2 = c^2</math>

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck so ist dieses rechtwinklig .

Die Fläche des unteren Quadrats (rot) entspricht Summe der Flächen der beiden anderen Quadrate und grün)

Eng verwandt mit dem Satz des sind der Höhensatz der Kathetensatz . Er ist ein Sonderfall des Kosinussatzes . Die Sätze zusammen bilden die sogenannte des Pythagoras.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe von a 2 + b 2 .

Seitenlängen 3 4 5 => 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 5 2 => Das Dreieck ist rechtwinklig.

Seitenlängen 4 5 6 => 4 2 + 5 2 = 16 + 25 = 41 6 2 => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Beweise

Der Beweis des Satzes ist auf Arten möglich z. B.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

In ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke den Seiten a b und c (Hypothenuse) Dies kann auf zwei Arten geschehen wie Diagramm dargestellt ist:


Diagramm zum Ergänzungsbeweis

Die Flächen des linken und des Quadrates sind gleich (Seitenlänge a+b ). Das linke besteht aus den vier (gelb) und einem Quadrat mit Seitenlänge c das rechte aus den gleichen Dreiecken einem Quadrat mit Seitenlänge a (blau) und einem mit Seitenlänge b (grün). Die rote Fläche (c²) entspricht der Summe der blauen Fläche (a²) und Fläche (b²) also c²=a²+b². Dies ist der des Pythagoras.

Scherungsbeweis

Eine weitere Möglichkeit ist die Scherung Kathetenquadrate in das Hypothenusenquadrat. Bei der Scherung das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck Über eine zweifache Scherung und eine Drehung die kleineren Quadrate dann in das große eingepasst werden:

Veranschaulichung des Scherungsbeweises

Beim exakten Beweis muss dann über Kongruenzsätze im Dreieck noch nachgewiesen werden dass kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils Hypothenusenabschnitten entspricht.

Pythagoräische Tripel

Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen für die die Gleichung :<math>a^2+b^2 = gilt. Es gibt unendlich viele Tripel mit Eigenschaft.

Das einfachste solche Tripel bilden die 3 4 und 5 (wegen 3²+4²=5² also Es wird in der "Gärtnerkonstruktion" von rechtwinkligen Parzellen oder Beeten verwendet:

Man bringe an einem Stück Schnur regelmäßigen Abständen (etwa alle 50 cm ) einen Knoten an und knote sie so zusammen dass eine Schleife mit im 12 Knoten entsteht. Nehmen jetzt drei Personen einen Knoten in die Hand so dass die Strecken zwischen ihnen wie 3:4:5 verhalten so der Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten genau 90°.

Verallgemeinerungen

Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum erhält der Mathematiker Innenprodukträume also Vektorräume mit einem Skalarprodukt. Hier der Satz von Pythagoras ebenfalls und zwar folgender Form: Gegeben seien zwei Vektoren v und w . Sind die beiden orthogonal stehen also senkrecht aufeinander so gilt:

<math>\|{\mathbf v} + {\mathbf w}\| = v}\| + \|{\mathbf w}\|.</math>

Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die Gleichung zu so stehen die beiden Vektoren aufeinander. Weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.

Geschichte

Die ältesten bekannten mathematischen Aufzeichnungen mit Satz des Pythagoras finden sich auf babylonischen die in die Zeit der Hammurabi Dynastie sind (1829 bis 1530 v.Chr). Pythagoräische Zahlentripel vielen Kulturen des Altertums bekannt. Es ist ob der Satz von Pythagoras gefunden wurde Benennung nach ihm stammt von Euklid .

Weblinks

Siehe auch: Fermatscher Satz



Bücher zum Thema Satz des Pythagoras

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