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Pythagoreischer Körper


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In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen (etwa Zahlen) der die vier Grundrechenarten in gemäß gewisser anwendbar sind. Diese Menge wird als pythagoreisch bezeichnet wenn zusätzlich der Satz des Pythagoras dort immer gilt.

Dies ist nämlich nicht selbstverständlich:
Ein aus der Schulmathematik bekannter Körper derjenige der Brüche. Jede beliebige Summe oder jedes Produkt und jeder Quotient ist darin ermittelbar. Trotzdem gilt darin nicht der Satz Pythagoras denn <math>1^2+1^2 = 1+1 = 2</math> kein Quadrat eines Bruches.

In der mathematischen Theorie der pythagoreischen wird verschiedenen Fragestellungen nachgegangen: Zum Beispiel wird was notwendig ist einen Körper pythagoreisch zu (dies führt zum pythagoreischen Abschluss).

Pythagoreische Körper spielen auch eine Rolle der Betrachtung der euklidischen Körper .

Definition

Ein Körper K heißt pythagoreisch wenn die Summe von zwei Quadraten K bereits wieder ein Quadrat ist.

Gerne verwendet wird folgendes Lemma:
Ein Körper K ist genau dann pythagoreisch wenn <math>1+x^2\in K^2</math> für jedes <math>x\in



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