Quadratische Funktion

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Quadratische Funktionen auch Parabeln genannt sind Funktionen einer Variablen in Funktionsterm als höchster Exponent ein Quadrat vorkommt. handelt sich also um spezielle Polynome .

Die einfachste Parabel hat die Gleichung f(x) = x ² . Man nennt sie auch die Normalparabel . Allgemein lautet die Gleichung für Quadratische f(x) = a x ² + b x + c wobei die Werte von a b und c das Aussehen der Quadratischen Funktion beeinflussen.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften und Begriffe zur Normalparabel

2 Lage und Aussehen der allgemeinen Quadratischen

3 Scheitelbestimmung

4 Quadratische Funktion als Kegelschnitt

5 Brennpunkt einer quadratischen Funktion

Eigenschaften und Begriffe zur Normalparabel

Normalparabel

Die Normalparabel ist die einfachste der Funktionen. Im Koordinatenursprung (0|0) hat die Normalparabel so genannten Scheitel . Hier der tiefste Punkt auf der und auch derjenige in dem die Kurve meisten gekrümmt ist.

Die Normalparabel ist wie jede andere Funktion Achsensysmmetrisch. Bei der Normalparabel ist die die y-Achse.

Definitionsbereich: D = R

Wertebereich: W = R ⁺ ₀

Lage und Aussehen der allgemeinen Quadratischen

In der Gleichung f(x) = a x ² + b x + c für die allgemeine quadratische Funktion. Die der Parameter a b und c bestimmen teilweise direkt das Aussehen und Ort der quadratischen Funktion. Ist a = 1 b = 0 und c = 0 so erhält man wieder eine Normalparabel.

Parameter a
Wie der Wert von a das verändert kann man am besten erkennen wenn b = 0 und c = 0 ist. Man hat dann eine Normalparabel einem Faktor vor dem x ² .

a > 0 ... der Graph ist nach oben

a < 0 ... der Graph ist nach unten

|a| > 1 ... der Graph ist gestreckt d.h. die Länge gezogen wodurch er schmäler erscheint.

|a| < 1 ... der Graph ist gestaucht d.h. die zusammengedrückt wodurch er breiter erscheint.

Für a = -1 ist der Graph im Vergleich zur einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter b
Der Wert des Parameters b hat allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiedung des Allerdings bewirkt f(x) = x ² + 1*x und f(x) = x ² + 2*x gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten Bild).

Eine Verschiebung des Graphen um eine nach rechts (im Vergleich zur Normalparabel) ergibt dagegen bei f(x) = (x-1) ² = x ² - 2*x +1 .

Parameter c
Eine Veränderung des Parameters c bewirkt in y-Richtung. Wird c um 1 erhöht wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird c um 1 verringert wird der Graph dagegen um eine nach unten verschoben.

Scheitelbestimmung

Da der Scheitel maßgeblich für die des Parabelgraphen ist und immer ein Minimum Maximum (hängt von a ab) des Funktionswertes ist stellt die Bestimmung der Scheitelkoordinaten eine der wichtigsten Aufgaben

Die Korrdinaten des Scheitels lassen sich auslesen wenn der Funktionsterm so umgeformt wird er so aussieht:

<math>f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 y_s</math>

Der Scheitel hat dann die Korrdinaten _s|y _s)

Beispiel: Bestimmung des Scheitels aus der Gleichung allgemeinen Parabel
f(x) = 2 x ² + 4x + 5

<math>y = 2 \cdot x^2 + 4 x + 5 </math> Die ursprüngliche Funktionsgleichung.

<math>y = 2 \cdot \left( x^2 + \cdot x \right) + 5</math> Der Faktor a vor dem x ² wurde ausgeklammert wobei der Summand +5 bleibt.

<math>y = 2 \cdot \left( x^2 + \cdot x + 1 - 1 \right) 5</math> Es wird eine quadratische Ergänzung zu x ² + 2x durchgeführt

<math>y = 2 \cdot \left( \left( x 1 \right) ^2 - 1 \right) + Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht aus einem Teil des Terms ein Quadrat zu ziehen.

<math>y = 2 \cdot \left( x + \right) ^2 - 2 + 5</math> Nun wurde noch die Klammer mit dem 2 wieder aufgelöst um den Term zu vereinfachen.

<math>y = 2 \cdot \left( x + \right) ^2 + 3</math> In der Endform lässt sich nun der S( -1 | 3 ) ablesen