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Quanteninformation


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Unter Quanteninformation versteht man die in quantenmechanischen Systemen vorhandene Information die nicht mit den Gesetzen der Informationstheorie beschrieben werden kann.

Die Theorie der Quanteninformation liefert die für Quantencomputer und Quantenkryptographie . Außerdem besteht die Hoffnung mit ihrer die Quantenmechanik besser zu verstehen.

Grundlagen

Quantenmechanische Systeme haben einige Eigenschaften die grundlegend von klassischen Systemen unterscheiden.

  • Verschränkung: Die Verschränkung ist der interessanteste der Quanteninformation sie wurde von Albert Einstein spukhafte Fernwirkung genannt. Für zwei verschränkte Systeme gilt keines der Systeme für sich genommen einen Zustand hat sondern nur das aus beiden zusammengesetzte Gesamtsystem. Dies gilt auch dann wenn beiden Teilsysteme nicht (mehr) miteinander wechselwirken und Lichtjahre weit voneinander entfernt sind. Verschränkte Zustände die Grundlage des EPR-Paradoxons .
Die Verschränkung von Zuständen ist letztlich Folge der Anwendung des Superpositionsprinzips auf zusammengesetzte Wenn das System 1 im Zustand |Zustand und das System 2 im Zustand |Zustand ist dann ist das kombinierte System im |System 1 in Zustand 1a und System in Zustand 2a> oder kurz |1a 2a>. Formalismus der Quantenmechanik ist dies ein Produkt beiden Zustände (nämlich das Tensorprodukt). Analog kann Gesamtsystem auch im Zustand |1b 2b> sein. Superpositionsprinzip fordert nun aber dass das auch a |1a 2a>+ b |1b 2b> ein Zustand des Systems ist. dieser sich (für a und b ungleich 0) jedoch nicht als Produkt lässt kann man den Einzelsystemen keinen eigenständigen mehr zuschreiben.

  • Komplementarität : Für ein Quantensystem sind niemals die aller Observablen gleichzeitig definiert. Ist der Wert einer exakt definiert so ist der Wert anderer völlig unbestimmt. Misst man diese Observable so das Ergebnis rein zufällig . Solche Observablen nennt man komplementär. Zusätzlich es noch Observablen deren Wert zwar auch festgelegt ist bei denen jedoch abhängig vom der ersten Observablen die verschiedenen Werte unterschiedlich wahrscheinlich sind.
Wird eine solche Observable gemessen so der Wert der vorherigen Observable entsprechend unbestimmt. wichtige Folge davon ist dass wir durch Messung eines einzelnen Quantensystems unmöglich den exakten Zustand herausfinden können in dem es sich der Messung befunden hat.

Beispiel:
Für ein Spin-1/2-System kann eine Spinkomponente beliebiger Raumrichtung gemessen werden. Die möglichen Werte stets entweder <math>+\hbar/2</math> ("Spin up") oder <math>-\hbar/2</math> down").
Für das Spin-1/2-System sind die Spin-Komponenten x - y - und z -Richtung zueinander komplementär. Kennt man den z.B. in z -Richtung so kann man keinerlei Voraussage über Spin in x -Richtung machen beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
Misst man hingegen z.B. in einem von 60° zur z -Richtung so erhält man mit Wahrscheinlichkeit 3/4 Wert den das System vor der Messung z -Richtung hatte und mit Wahrscheinlichkeit 1/4 den Wert.
Misst man bei bekanntem Spin in z -Richtung den Spin in x -Richtung so ist danach der Spin in x -Richtung bekannt der Spin in der komplementären z -Richtung wird aber durch die Messung unbestimmt. erneute Messung des Spins in z -Richtung wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit beide Werte der vorherige Wert in z -Richtung ist "gelöscht".

Von zwei Observablen deren Werte gleichzeitig sein können (also das Gegenteil von komplementären sagt man sie vertauschen bzw. kommutieren. Das sich zwar eigentlich auf eine Eigenschaft der mathematischen Objekte ( Operatoren ) mit denen sie in der Quantenmechanik werden man kann es aber auch auf Tatsache beziehen dass für diese und nur diese die Reihenfolge in der man sie egal ist man also die zugehörigen Messungen kann.
Zustände in denen der Wert einer eindeutig festgelegt ist nennt man Eigenzustände der Observablen und den zugehörigen Wert Observablen Eigenwert .

  • Superpositionsprinzip : Sind |Zustand 1> und |Zustand 2> mögliche Zustände eines quantenmechanischen Systems und sind a und b zwei komplexe Zahlen mit | a |²+| b |²=1 so gibt es einen weiteren möglichen des Systems der sich als
|neuer Zustand> = a|Zustand 1> + b|Zustand
schreiben lässt. Hierbei führt ein gemeinsamer Faktor a und b zum selben Zustand amsonsten gehört zu Paar von a und b ein anderer Zustand.
Falls |Zustand 1> und |Zustand 2> Eigenzustände einer Observablen mit unterschiedlichem Eigenwerten w 1 und w 2 sind (solche Zustände nennt man orthogonal) ist im Zustand |neuer Zustand> die Wahrscheinlichkeit Messung der Observablen den Wert w 1 zu erhalten gerade | a |² und die Wahrscheinlichkeit den Wert w 2 zu erhalten | b |².

Beispiel:
Für ein Spin-1/2-System ergeben die Superpositionen Zustände |Spin up in z -Richtung> und |Spin down in z -Richtung> gerade alle Zustände der Form |Spin in Richtung n > und |Spin down in Richtung n > wobei n die Richtung angibt.

  • Unitäre Zeitentwicklung: Solange nicht gemessen wird zueinander orthogonale Zustände immer in orthogonale Zustände Außerdem gilt das Prinzip der Wahrscheinlichkeitserhaltung: Die der Wahrscheinlichkeiten einer möglichen Messung muss zu Zeitpunkt 1 ergeben.

Aus diesen quantenmechanischen Grundlagen folgen u.a. folgenden wichtigen Aussagen:

  • No-Cloning-Prinzip : Ein unbekannter Quantenzustand kann nicht kopiert werden. Das heißt es gibt keine ein zweites System so zu präparieren dass bekanntermaßen denselben Zustand hat wie ein existierendes in unbekanntem Zustand ohne dass der ursprüngliche des Original-Systems zerstört wird. Das heißt entweder das Originalsystem hinterher einen Zustand der nichts dem Originalzustand zu tun hat oder es sich in einer Verschränkung mit einem anderen und hat daher als Einzelsystem überhaupt keinen Zustand mehr.

  • Das einfachste quantenmechanische System hat genau orthogonale Zustände (eine Messung kann maximal zwei Ergebnisse haben). Ein solches System nennt man Qubit und es spielt eine ähnliche Rolle der Quanteninformation wie das Bit in der klassischen Information.

  • In n Qubits lassen sich maximal n klassische Bits speichern und zuverlässig wieder Allerdings ist dabei nicht notwendigerweise jedes klassische in genau einem Qubit gespeichert.

Anwendungen der Quanteninformation

Die besonderen Eigenschaften der Quanteninformation führen dass sie für einige Anwendungen sehr interessant

Die Quantenkryptographie nutzt vor allem das Komplementaritätsprinzip: Wenn Lauscher nicht weiß in welcher Basis ein codiert ist ist es für ihn praktisch dieses auszulesen. Zudem wird durch seinen Lauschversuch Information zerstört so dass unbemerktes Lauschen nicht ist. Zudem geben Quantensysteme gute Zufallszahlengeneratoren für Generierung von Schlüsseln für klassische Verfahren.

In Quantencomputern werden vor allem das Superpositionsprinzip und Verschränkung verwendet um effizienter zu rechnen ("Quantenparallelität").

Über die Menge der Information

Klassisch wird die Informationsmenge in Bit angegeben. In vielerlei Hinsicht äquivalent dazu in der Quanteninformation das Qubit . Jedoch ist die Frage wieviel Information Qubit enthält nicht letztgültig geklärt.

Während ein klassisches Bit sozusagen 'eindimensional' also nur eine Ja-Nein-Alternative ist das Qubit Am einfachsten ist das bei Spin-1/2-Systemen zu bei denen die Superpositionen direkt den Raumrichtungen in denen das Ergebnis einer Spinmessung festliegt gilt aber für jedes Qubit. So kann ein Photon

  1. linkszirkular oder rechtszirkular
  2. horizontal oder vertikal und
  3. 45° oder -45° polarisiert sein.

Diese drei Polarisationen bilden wie die zueinander senkrechten Spinkomponenten des Spin-1/2-Teilchens drei jeweils komplementäre Observable. Entsprechend sind beim Photon auch Überlagerungen dieser Zustände möglich. Ein Photon kann nur links- oder rechtszirkular polarisiert sein sondern zu 90% linkszirkular und zu 10% rechtszirkular Polarisation). Das heißt: Von vielen Photonen die polarisiert sind erscheinen bei einer Messung der Polarisation 90% linkszirkular polarisiert. Vor der Messung trägt aber jedes einzelne die Eigenschaft der Überlagerung (siehe Schrödingers Katze ).

Um den Zustand eines Photons exakt reicht also ein Bit also eine Wahl 1 und 0 nicht aus. Vielmehr müssen Anteile angegeben werden was einer reellen Zahl unendlich vielen Bits entspricht. Um ein Photon nach Vorschrift zu präparieren ist unendlich viel Information nötig. Diese Beobachtungen legen nahe dass Qubit unendlich viel Information enthält.

Andererseits ist es völlig unmöglich diese aus einem einzelnen Photon wieder herauszukriegen. Denn in einer Richtung die Polarisation bestimmt wird gleichzeitig der Zustand des Photons zerstört so keine Aussage über die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht kann. Bei der Messung des Photons erhält also immer genau ein klassisches Bit Information. gibt es für unverschränkte Qubits immer genau (wenngleich bei Unkenntnis des Zustands unbekannte) Observable beim Spin-1/2-Teilchen: eine Messrichtung für den Spin) Ergebnis durch den Zustand vollständig festgelegt wird; die dazu komplementären Observablen (Spin-1/2: für die senkrechten Messrichtungen) ist dann das Ergebnis der völlig unbestimmt der Zustand des Qubits enthält keinerlei Information darüber welches Ergebnis die Messung Observablem ergeben wird. Diese Beobachtungen legen nahe die Information eines Qubits gerade ein klassisches beträgt.

Der Begriff der Information hängt eng den Begriffen Entropie Energie und Temperatur zusammen und scheint in der Physik fundamental zu sein.



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