Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 18. September 2014 

Quaternionen


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen . Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Mengensymbol ist <math>\mathbb{H}</math>.

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation .

Quaternionen werden formal als x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ausgedrückt. Quaternionen lassen sich also als reeller Koeffizienten mit der Basis <1 i j k > darstellen.

Überträgt man die aus den Zahlenkörpern und <math>\mathbb{C}</math> bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf <math>\mathbb{H}</math> erhält man einen Schiefkörper .
Operationen über zwei Quaternionen
Addition Multiplikation
(x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ) + (y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k )
=
(x 0 + y 0 )
+
(x 1 + y 1 ) i
+
(x 2 + y 2 ) j
+
(x 3 + y 3 ) k
(x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ) * (y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k )
=
(x 0 y 0 - x 1 y 1 - x 2 y 2 - x 3 y 3 )
+
(x 0 y 1 + x 1 y 0 + x 2 y 3 - x 3 y 2 ) i
+
(x 0 y 2 - x 1 y 3 + x 2 y 0 + x 3 y 1 ) j
+
(x 0 y 3 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 3 y 0 ) k
ist assoziativ und kommutativ ist assoziativ aber nicht kommutativ

Dabei gilt:

<math> i \ j = k j \ k = i \qquad k i = j </math>
<math> j \ i = -k k \ j = -i \qquad i k = -j </math>

Hieraus folgt dann etwa:

<math> i^2 = j^2 = k^2 -1 \qquad ijk = -1 </math>

Weiter gilt:

<math> \forall (x y z) \in \quad
 \exp(ix+jy+kz) = \cos\left|ix+jy+kz\right| + \frac{ix+jy+kz}{\left|ix+jy+kz\right|} \cdot </math>  
wobei
<math> \left|ix+jy+kz\right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} </math>
ist. Diese Gleichung ist für <math> </math> ein Spezialfall der Euler-Relation:
<math> \exp(ix) = \cos\left|x\right| + \frac{i\cdot {\left|x\right|} \cdot \sin\left|x\right|
 = \cos(x) + i \cdot \sin(x)  

Quaternionenprodukt

Die besondere Stellung der Komponente x 0 ist offensichtlich man bezeichnet sie analog den Komplexen Zahlen als Realteil s während die Komponenten x 1 x 2 und x 3 Imaginärteil v genannt werden. Bei der Multiplikation von a und b deren Realteil 0 ist entsteht ein deren Skalarteil s = − <a b> auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt entspricht während der Vektorteil v = x b das Vektorprodukt von a und b ist.

Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die 8 werden Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.

Praktische Anwendungen

Arthur Cayley entdeckte dass sich mit Quaternionen Drehungen Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage Bereich der interaktiven Computergrafik insbesondere bei Computerspielen . Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden steigt die Des weiteren werden Quaternionen zur Programmierung von Industrierobotern genutzt.

Verwandte Themen

Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Quaternionen -- Oktaven



Bücher zum Thema Quaternionen

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Quaternionen.html">Quaternionen </a>