Quaternionen

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen . Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Mengensymbol ist <math>\mathbb{H}</math>.

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation .

Quaternionen werden formal als x ₀ + x ₁ i + x ₂ j + x ₃ k ausgedrückt. Quaternionen lassen sich also als reeller Koeffizienten mit der Basis <1 i j k > darstellen.

Überträgt man die aus den Zahlenkörpern und <math>\mathbb{C}</math> bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf <math>\mathbb{H}</math> erhält man einen Schiefkörper .

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
(x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ) + (y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k ) = (x 0 + y 0 ) + (x 1 + y 1 ) i + (x 2 + y 2 ) j + (x 3 + y 3 ) k	(x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ) * (y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k ) = (x 0 y 0 - x 1 y 1 - x 2 y 2 - x 3 y 3 ) + (x 0 y 1 + x 1 y 0 + x 2 y 3 - x 3 y 2 ) i + (x 0 y 2 - x 1 y 3 + x 2 y 0 + x 3 y 1 ) j + (x 0 y 3 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 3 y 0 ) k
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ aber nicht kommutativ

Dabei gilt:

<math> i \ j = k j \ k = i \qquad k i = j </math>

<math> j \ i = -k k \ j = -i \qquad i k = -j </math>

Hieraus folgt dann etwa:

<math> i^2 = j^2 = k^2 -1 \qquad ijk = -1 </math>

Weiter gilt:

<math> \forall (x y z) \in \quad

 \exp(ix+jy+kz) = \cos\left|ix+jy+kz\right| + \frac{ix+jy+kz}{\left|ix+jy+kz\right|} \cdot </math>  

<math> \left|ix+jy+kz\right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} </math>

<math> \exp(ix) = \cos\left|x\right| + \frac{i\cdot {\left|x\right|} \cdot \sin\left|x\right|

 = \cos(x) + i \cdot \sin(x)  

Quaternionenprodukt

Die besondere Stellung der Komponente x ₀ ist offensichtlich man bezeichnet sie analog den Komplexen Zahlen als Realteil s während die Komponenten x ₁ x ₂ und x ₃ Imaginärteil v genannt werden. Bei der Multiplikation von a und b deren Realteil 0 ist entsteht ein deren Skalarteil s = − <a b> auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt entspricht während der Vektorteil v = x b das Vektorprodukt von a und b ist.

Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die 8 werden Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.

Praktische Anwendungen

Arthur Cayley entdeckte dass sich mit Quaternionen Drehungen Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage Bereich der interaktiven Computergrafik insbesondere bei Computerspielen . Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden steigt die Des weiteren werden Quaternionen zur Programmierung von Industrierobotern genutzt.

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