Quotientenkörper

Jeder Integritätsring kann eingebettet werden in einen Körper . Der kleinste solche Körper ist der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Integritätsrings. Ist R ein Integritätsring dann haben die Elemente Quotientenkörpers die Form a / b mit a b in R b ungleich 0. Der Quotientenkörper wird manchmal Quot( R ) bezeichnet.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen . Der Quotientenkörper eines Körpers ist der selbst.

Man kann den Quotientenkörper Quot( R ) eines Integritätsrings R wie folgt konstruieren : Quot( R ) ist die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren ( z n ) wobei z n aus R sind und n ungleich 0 ist. Dabei heißt ( z n ) äquivalent zu ( y m ) wenn zm = ny . Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse des Paars z n ) mit [ z / n ] (dies ist dann der Bruch z / n ). Die Einbettung von R in Quot( R ) erfolgt durch a ->[ a /1]. Die Summe von [ z / n ] und [ y / m ] ist [ zm + ny / nm ] und das Produkt ist [ zy / nm ].

Der Quotientenkörper von R wird charakterisiert durch die folgende universelle Ist f : R -> K ein Ringhomomorphismus in einen Körper K dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus g : Quot( R )-> F der f fortsetzt. Aus dieser Eigenschaft folgt dass R ) der kleinste R enthaltende Körper ist und dass es auf Isomorphie nur einen einzigen Quotientenkörper gibt.

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