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Randbedingung


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Konkrete Angaben zum Errechnen der Lösung Differentialgleichung wobei alle benötigten Angaben für (meist verschiedene Werte der unabhängigen Variablen (dem Randwert ) gegeben sind.

Randwertaufgaben haben – im Unterschied zu – nicht immer eine (eindeutige oder überhaupt Lösung (siehe Beispiel 2). Die numerische Berechnung Randwertaufgaben mit Mitteln der numerischen Mathematik ist wesentlich aufwendiger und läuft meist die Lösung sehr großer Gleichungssysteme hinaus.

Beispiel 1

Sei die gegebene Differentialgleichung y"=2 . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist y=x 2 +a 1 x+a 0 . Gesucht sind nun die Werte der a 0 und a 1 für eine gegebene Aufgabenstellung.

Ein Randwertproblem wäre:

Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 y(1)=0 (dh. für die beiden Werte x=0 x=1 sind die gewünschten Funktionswerte bekannt).

Die Lösung dieses Randwertproblemes ist y=x 2 -x .

Beispiel 2

Sei die gegebene Differentialgleichung y"=-y . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist a .sin(x)+ b .cos(x) .

Gesucht ist die Lösung mit y(0)=1 y(π/2)=0.
Die Lösung ist y=cos(x) .

Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 y(π)=0.
Es gibt unendlich viel Lösungen der a .sin(x) mit beliebigem a .

Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 y(2π)=1.
Es gibt keine Lösung .

Siehe auch: Anfangsbedingung



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