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Rationale Zahlen


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Eine rationale Zahl ist eine Zahl die als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt a / b lies a geteilt durch b ) wobei der Nenner (hier b ) ungleich Null ist. Jede Zahl die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt ist eine rationale Zahl.

Die Menge aller rationalen Zahlen bildet Körper der mit Q (stark betont dargestellt) bezeichnet wird. Weil handschriftlich nicht darstellbar ist hat sich das <math>\mathbb{Q}</math> eingebürgert.

siehe auch: reelle Zahlen natürliche Zahlen irrationale Zahlen

Inhaltsverzeichnis

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der als gemeiner Bruch eine andere Darstellung nämlich Dezimalbruchentwicklung ; z. B. ist

1/3 = 0 333333... = [ 0 01 01 01 ... ] 2
9/7 = 1 2857 142857 142857... = [ 1 01 001 001 001 ... ] 2
1/2 = 0 50000... = [ 0 10000... ] 2
1 = 1/1 = 1 0000... = 0 9999... = [ 0 1111... ] 2

In den eckigen Klammern sind die Entwicklungen im Binärsystem angegeben. Die Dezimal - Binär- und anderen b -adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt.

Die Bruchform einer rationalen Zahl kann oft in so genannte Partialbrüche zerlegen deren Nenner ganze Potenzen von sind; z. B.

5/6 = 1/2 + 1/3 1/6 = - 1/3 1/72 = 1/8 - 1/9 = -1/4 - 4/3 + 8/5.

Es gibt auch Zerlegungen als so ägyptische Brüche ( Stammbrüche ) z. B.

3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 = 1/2 + 1/4 + 1/18 +
die alten Ägypter kannten nur solche und haben mit diesen gerechnet.

Das Zahlentripel (1/5 24/35 5/7) ist Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel ) denn

(1/5)² + (24/35)² = (5/7)².

Konstruktion von Q aus Z

Mathematisch gesehen definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen ( a b ) wobei wieder b ungleich Null ist. Dann definiert man und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe Regeln:

( a b ) + ( c d ) = ( a · d + b · c b · d )
( a b ) · ( c d ) = ( a · c b · d )

Einhergehend mit unserer Erwartung dass 2/4 1/2 sein soll führen wir eine Äquivalenzrelation ~ auf diesen Paaren mit der Regel ein:

( a b ) ~ ( c d ) genau dann wenn a · d = b · c .

Mit den obigen Rechenregeln bildet die der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper Q dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Äquivalenzklasse von ( a b ) schreibt man als a / b .

Eigenschaften

Man kann zeigen dass Q der kleinste Körper ist der die natürlichen Zahlen N enthält. Q ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen Z .

Rationale Zahlen liegen "dicht" auf der das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

c := ( a + b )/2

Was zunächst überraschend klingt ist die dass die Menge der rationalen Zahlen " gleichmächtig " zu der Menge der natürlichen Zahlen Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen N und Q die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt. Siehe dazu auch: Cantor-Diagonalisierung

Verwandte Themen


Weblinks

  • http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch« berechnet gewöhnliche partielle ägyptische und dyadische Brüche Dezimal- und Binärentwicklungen; löst Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete cauchysche Folgen ( auch auf deutsch und französisch )



Bücher zum Thema Rationale Zahlen

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