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| Nachrichten | Lexikon | Protokolle | Bücher | Foren | Dienstag, 21. Mai 2013 |
Rationale ZahlenDieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Eine rationale Zahl ist eine Zahl die als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt a / b lies a geteilt durch b ) wobei der Nenner (hier b ) ungleich Null ist. Jede Zahl die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt ist eine rationale Zahl. Die Menge aller rationalen Zahlen bildet Körper der mit Q (stark betont dargestellt) bezeichnet wird. Weil handschriftlich nicht darstellbar ist hat sich das <math>\mathbb{Q}</math> eingebürgert. siehe auch: reelle Zahlen natürliche Zahlen irrationale Zahlen
DarstellungsformenDie rationalen Zahlen haben neben der als gemeiner Bruch eine andere Darstellung nämlich Dezimalbruchentwicklung ; z. B. ist
In den eckigen Klammern sind die Entwicklungen im Binärsystem angegeben. Die Dezimal - Binär- und anderen b -adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann oft in so genannte Partialbrüche zerlegen deren Nenner ganze Potenzen von sind; z. B.
Es gibt auch Zerlegungen als so ägyptische Brüche ( Stammbrüche ) z. B.
Das Zahlentripel (1/5 24/35 5/7) ist Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel ) denn
Konstruktion von Q aus ZMathematisch gesehen definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen ( a b ) wobei wieder b ungleich Null ist. Dann definiert man und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe Regeln:
Einhergehend mit unserer Erwartung dass 2/4 1/2 sein soll führen wir eine Äquivalenzrelation ~ auf diesen Paaren mit der Regel ein:
Mit den obigen Rechenregeln bildet die der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper Q dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Äquivalenzklasse von ( a b ) schreibt man als a / b .
EigenschaftenMan kann zeigen dass Q der kleinste Körper ist der die natürlichen Zahlen N enthält. Q ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen Z . Rationale Zahlen liegen "dicht" auf der das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:
Was zunächst überraschend klingt ist die dass die Menge der rationalen Zahlen " gleichmächtig " zu der Menge der natürlichen Zahlen Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen N und Q die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt. Siehe dazu auch: Cantor-Diagonalisierung
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