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Raumzeit


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In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einem einheitlichen vierdimensionalen Gebilde verschmolzen dem die räumlichen und zeitlichen Koordinaten bei Transformation in andere Bezugssysteme gegeneinander vermischt werden können. Zwar lässt ein absolut gültiger Abstandsbegriff für Raumzeitpunkte ("Ereignisse") jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters abhängig was davon als und zeitlicher Abstand erscheint.

Die 4 dimensionale Raumzeit wird manchmal kurz Zaum genannt ("Z" für 1 Dimension Z eit und "aum" für 3 Dimensionen R aum ).

Inhaltsverzeichnis

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten (x y z) um eine Zeitkomponente ict erweitert also (x y z ict) . Dieses Koordinatensystem kennzeichnet die Raumzeit . Die Zeitkomponente wird als komplexe Zahl dargestellt. Kennzeichen einer komplexen Zahl mit imaginärem Anteil wie ict ist dass ihr Quadrat negativ ist. Im Falle von ict ist das Quadrat -c 2 t 2 . Bewegt sich ein Bezugssystem gegenüber demjenigen Beobachters beispielsweise in x -Richtung mit der Geschwindigkeit v so erscheinen die Koordinaten in diesem zu dem Originalsystem in der x - ict -Ebene gedreht . Wegen der komplexen Eigenschaft wird die entgegengesetzt zur x -Achse gedreht. Der Winkel ist

<math> \tan \alpha = \frac{v}{c}</math>

Die x -Koordinate ist verkleinert ( Längenkontraktion ) eine zusätzliche Zeitkomponente tritt hinzu ( Zeitdilatation ). Ein Teil der Raumkomponente ist also die Zeitkomponente übergegangen. Dies entspricht der Lorentztransformation .

Abstand

Der vierdimensionale Abstand (Wurzel der Summe Quadrate der Koordinaten) beträgt in beiden Bezugssystemen <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2-c^2t^2}</math> und bleibt daher konstant Minuszeichen ergibt sich aus der komplexen Eigenschaft ict ). Bei Drehungen bleiben Abstände wie üblich Für Licht das sich vom Ursprung mit Geschwindigkeit c fortbewegt gilt für alle Zeiten und r=0 . Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie.

Minkowski Diagramm

Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie


Nichteuklidische Geometrien

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (ct x y z) in der allgemeinen Relativitätstheorie sind die nichteuklidischen Geometrien . Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear was Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie insbesondere Parallelenaxiom müssen in diesen Theorien aufgegeben werden. kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier keine Gerade mehr. Sie wird Geodäte genannt im Falle einer Kugeloberfäche sind Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im - Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist größer als 180 Grad im Falle von dagegen kleiner.

Raumkrümmung

Die Raumkrümmung wird durch Massen verursacht daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung bzw. -kraft die damit zur Scheinkraft wird. In einem kleinen Raumabschnitt ist erzeugte Gravitationsfeld näherungsweise konstant. Dies wird durch konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c 2 beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem ist gleich.

Im normalen dreidimensionalen Raum ist nur Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. der Körper die Geschwindigkeit v so ist die Weltlinie gegenüber der geneigt und zwar um den Winkel <math>\tan Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor <math>1/\sin \alpha</math> länger Krümmungsradius um den gleichen Faktor <math>1/\sin \alpha</math> die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung Längenabschnitt) ist daher um den Faktor <math>sin^2\alpha</math>

Mit

<math>\sin \alpha=\frac{v/c}{\sqrt{1 + v^2/c^2}}</math>

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c 2 für die beobachtete Bahnkrümmung im dreidimensionalen

<math>\frac{g}{v^2} \cdot (1 + v^2/c^2)</math>.

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung

Für kleine Geschwindigkeiten v<<c ist die Bahnkrümmung g/v 2 und entspricht damit dem Wert bei klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c hat der Faktor (1 + v 2 /c 2 ) den Wert 2 die Krümmung entspricht also dem doppelten 2g/v 2 wie bei klassischer Betrachtung. Die Winkelabweichung Sternenlicht von Fixsternen in der Nähe der sollte also doppelt so groß sein wie klassischen Fall. Dies wurde durch die Expedition einer Sonnenfinsternis von 1919 durch Arthur Eddington als Erstem verifiziert. Wegen der geringen vom klassischen Wert sind die Planetenbahnen auch exakten Ellipsen mehr sondern Rosetten. Dies wurde der Bahn des Planeten Merkur erstmals nachgewiesen.

Symmetrien

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine von Symmetrien die sehr wichtig für die darin Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben Symmetrien des Raumes ( Translation Rotation ) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres das Relativitätsprinzip sicher.



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