Reduktionsformel

Reduktionsformeln für Winkelfunktionen

Will man die Werte der Winkelfunktionen Sinus Kosinus Tangens und Kotangens durch Näherungsformeln oder Tabellen bestimmen ist es ratsam Argument φ möglichst klein zu wählen. Dafür nachstehend eine Tabelle angegeben.

Periodizität. Für alle Winkel φ und ganzen k gilt:

• sin(φ + 360°· k ) = sin(φ)
• cos(φ + 360°· k ) = cos(φ)
• tan(φ + 180°· k ) = tan(φ)
• cot(φ + 180°· k ) = cot(φ)

Die folgende Tabelle gibt für einen Winkel φ aus dem Intervall [0° 360°] und eine der Winkelfunktionen Winkel x in [0° 45°] und einen Ausdruck der denselben Wert liefert:

φ in	[0° 45°]	[45° 90°]	[90° 135°]	[135° 180°]
x :=	φ	90° - φ	φ - 90°	180° - φ
sin φ =	+ sin x	+ cos x	+ cos x	+ sin x
cos φ =	+ cos x	+ sin x	- sin x	- cos x
φ in	[180° 225°]	[225° 270°]	[270° 315°]	[315° 360°]
x :=	φ - 180°	270° - φ	φ - 270°	360° - φ
sin φ =	- sin x	- cos x	- cos x	- sin x
cos φ =	- cos x	- sin x	+ sin x	+ cos x
φ in	[0° 45°]	[45° 90°]	[90° 135°]	[135° 180°]
x :=	φ	90° - φ	φ - 90°	180° - φ
tan φ =	+ tan x	+ cot x	- cot x	- tan x
cot φ =	+ cot x	+ tan x	- tan x	- cot x

Beispiel

Will man sin(500°) berechnen bringt man die Periodizität den Winkel zwischen 0 und sin(500°) = sin(240°). Nach Tabelle wählt man x = 270° - 240° = 30° ist sin(240°) = -cos(30°) = - 1/2 (laut der untenstehenden Tabelle).

Spezielle Werte der Winkelfunktionen

Funktionswerte für besonders einfache Winkel:

x		sin x	cos x	tan x	cot x
0°	0	1/2 √0 = 0	1/2 √4 = 1	0	-
30°	π/6	1/2 √1 = 1/2	1/2 √3	1/3 √3	√3
45°	π/4	1/2 √2	1/2 √2	1	1
60°	π/3	1/2 √3	1/2 √1 = 1/2	√3	1/3 √3
90°	π/2	1/2 √4 = 1	1/2 √0 = 0	-	0

Funktionswerte für weitere Winkel:

x		sin x
15°	π/12	<math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1-\sqrt{1/3})</math>
18°	π/10	<math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1) = \rho/2</math>
22 5°	π/8	<math>\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}</math>
36°	π/5	<math>\frac{1}{4} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}</math>
54°	3*π/10	<math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} + 1) = \tau/2</math>
67 5°	3*π/8	<math>\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}</math>
72°	2*π/5	<math>\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math>
75°	5*π/12	<math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1+\sqrt{1/3})</math>

Dabei ist ρ der Goldene Schnitt und τ = 1 + ρ:

<math>\rho = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) \approx 0{ \quad \tau = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \approx }618</math>

Für andere Winkelfunktionen benutze cos(x) = - x) = sin(90° - x).

Mit Hilfe von Additionstheoremen und Halbwinkelformeln Trigonometrische Funktion ) kann man exakte Werte für weitere bestimmen. Der kleinste ganzzahlige Winkel für den möglich ist beträgt 3° = π/60. Der Wert von sin(3°) ist jedoch ein komplizierter

<math>\sin(3^\circ) =

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