Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDienstag, 16. September 2014 

Reduktionsformel


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Es gibt sicherlich noch andere Reduktionsformeln hier zunächst die der Winkelfunktionen betrachtet.

Reduktionsformeln für Winkelfunktionen

Will man die Werte der Winkelfunktionen Sinus Kosinus Tangens und Kotangens durch Näherungsformeln oder Tabellen bestimmen ist es ratsam Argument φ möglichst klein zu wählen. Dafür nachstehend eine Tabelle angegeben.

Periodizität. Für alle Winkel φ und ganzen k gilt:

  • sin(φ + 360°· k ) = sin(φ)
  • cos(φ + 360°· k ) = cos(φ)
  • tan(φ + 180°· k ) = tan(φ)
  • cot(φ + 180°· k ) = cot(φ)

Die folgende Tabelle gibt für einen Winkel φ aus dem Intervall [0° 360°] und eine der Winkelfunktionen Winkel x in [0° 45°] und einen Ausdruck der denselben Wert liefert:

φ in [0° 45°] [45° 90°] [90° 135°] [135° 180°]
x := φ 90° - φ φ - 90° 180° - φ
sin φ = + sin x + cos x + cos x + sin x
cos φ = + cos x + sin x - sin x - cos x
 
φ in [180° 225°] [225° 270°] [270° 315°] [315° 360°]
x := φ - 180° 270° - φ φ - 270° 360° - φ
sin φ = - sin x - cos x - cos x - sin x
cos φ = - cos x - sin x + sin x + cos x
 
φ in [0° 45°] [45° 90°] [90° 135°] [135° 180°]
x := φ 90° - φ φ - 90° 180° - φ
tan φ = + tan x + cot x - cot x - tan x
cot φ = + cot x + tan x - tan x - cot x

Beispiel

Will man sin(500°) berechnen bringt man die Periodizität den Winkel zwischen 0 und sin(500°) = sin(240°). Nach Tabelle wählt man x = 270° - 240° = 30° ist sin(240°) = -cos(30°) = - 1/2 (laut der untenstehenden Tabelle).

Spezielle Werte der Winkelfunktionen

Funktionswerte für besonders einfache Winkel:
x sin x cos x tan x cot x
0 1/2 √0 = 0 1/2 √4 = 1 0 -
30° π/6 1/2 √1 = 1/2 1/2 √3 1/3 √3 √3
45° π/4 1/2 √2 1/2 √2 1 1
60° π/3 1/2 √3 1/2 √1 = 1/2 √3 1/3 √3
90° π/2 1/2 √4 = 1 1/2 √0 = 0 - 0

Funktionswerte für weitere Winkel:
x sin x
15° π/12 <math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1-\sqrt{1/3})</math>
18° π/10 <math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1) = \rho/2</math>
22 5° π/8 <math>\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}</math>
36° π/5 <math>\frac{1}{4} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}</math>
54° 3*π/10 <math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} + 1) = \tau/2</math>
67 5° 3*π/8 <math>\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}</math>
72° 2*π/5 <math>\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math>
75° 5*π/12 <math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1+\sqrt{1/3})</math>
Dabei ist ρ der Goldene Schnitt und τ = 1 + ρ:

<math>\rho = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) \approx 0{ \quad \tau = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \approx }618</math>

Für andere Winkelfunktionen benutze cos(x) = - x) = sin(90° - x).

Mit Hilfe von Additionstheoremen und Halbwinkelformeln Trigonometrische Funktion ) kann man exakte Werte für weitere bestimmen. Der kleinste ganzzahlige Winkel für den möglich ist beträgt 3° = π/60. Der Wert von sin(3°) ist jedoch ein komplizierter

<math>\sin(3^\circ) =
\frac{1}{16} (\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5} \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} \sqrt{2}) +\frac{1}{8} (1 - \sqrt{3}) \sqrt{5 + </math>




Bücher zum Thema Reduktionsformel

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Reduktionsformel.html">Reduktionsformel </a>