Restklassenring

Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Definition und abstrakteren Eigenschaften von Restklassenringen. Für einfacher verständliche Einführung in die Rechenregeln siehe Artikel Kongruenz (Zahlentheorie) .

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Beispiele 2.1 Z/3Z 2.2 Z/4Z 3 Restklassenkörper 4 Verallgemeinerung

Definition

Ist n eine natürliche Zahl dann fasst man Zahlen mit gleichem Rest bei Division durch n zusammen zu so genannten Restklassen . Die Restklassen bilden zusammen den Restklassenring der mit Z / n Z oder Z _n bezeichnet wird (sprich "Z modulo n").

Die Addition und Multiplikation von Restklassen durch Addition und Multiplikation von beliebigen Elementen Klassen und anschließende Restbildung des Ergebnisses. Bezeichnet die Restklasse von a mit [ a ] dann definiert man also

[ a ]+[ b ]:=[ a + b ] und

[ a ]·[ b ]:=[ a · b ].

Dass diese Verknüpfungen des Restklassenrings wohldefiniert sind liegt an der folgenden Eigenschaft Restklassen.

Sind a ₁ b ₁ a ₂ b ₂ ganze Zahlen mit

[a ₁ ] = [b ₁ ] und [a ₂ ] = [b ₂ ]

[a ₁ + a ₂ ] = [b ₁ + b ₂ ]

[a ₁ · a ₂ ] = [b ₁ · b ₂ ].

Beispiele

Z/3Z

Bei Divison durch 3 entstehen die Restklassen

0 := [0] = { ...; -6; 0; 3; 6; 9; 12; ... } die durch 3 teilbaren Zahlen.

1 := [1] = { ...; -5; 1; 4; 7; 10; 13;... } d.h. Divisionsrest ist 1.

2 := [2] = { ...; -4; 2; 5; 8; 11; 14;... } d.h. Divisionsrest ist 2.

Berechnen wir 1 + 2 :
Wähle etwa die 4 aus 1 und die 8 aus 2 . Rechne 4 + 8 = 12. ist in 0 . Also 1 + 2 = 0 .

Die Menge Z /3 Z = { 0 1 2 } bekommt so die Verknüpfungstabellen:

Addition: + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

Multiplikation: * 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

( Z /3 Z + ·) ist ein Ring und diesem Fall sogar ein Körper der als F ₃ bezeichnet wird (von engl. field ).

Z/4Z

Betrachten wir die Reste bei Division 4.

Z /4 Z = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } mit

0 = { ...; -4; 0; 4; 12; 16; ... }

1 = ( ...; -3; 1; 5; 13; 17; ... }

2 = ( ...; -2; 2; 6; 14; 18;... }

3 = ( ...; -1; 3; 7; 15; 19;... }

Darin ist 2 · 2 = 0 . Die Multiplikation ist also in Z /4 Z \{ 0 } nicht abgeschlossen es gibt Nullteiler ( 2 ist Teiler von 0 ). Die so entstandende Struktur ( Z /4 Z + ·) ist kein Körper sondern ein kommutativer Ring (der Restklassenring modulo 4).

Restklassenkörper

Ist p eine Primzahl dann ist der Restklassenring Z /p Z ein endlicher Körper der Restklassenkörper modulo p und wird als F _p bezeichnet.

Ist dagegen n keine Primzahl dann ist der Restklassenring n kein Körper da die Restklasse jedes Teilers von n ein Nullteiler ist.

Verallgemeinerung

Die Idee der Restklassen lässt sich in anderen Ringen als den ganzen Zahlen Man definiert dazu den Begriff des Ideals und bildet Restklassen modulo einem Ideal ihrerseits einen Ring bilden den man Faktorring nennt.

Bücher zum Thema Restklassenring

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