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Mannigfaltigkeit


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differenzierbare Mannigfaltigkeit
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle

Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum der lokal einem gewöhnlichen Euklidischen Raum R n gleicht.

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie ; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik .

Inhaltsverzeichnis

Übersicht

Ein gern gewähltes Beispiel für eine ist eine Kugel (= Kugeloberfläche) anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann man einer Karte auf eine Ebene abbilden. Nähert man dem Rand der Karte sollte man zu anderen Karte wechseln die das angrenzende Gebiet So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen Satz von Karten vollständig beschreiben; man braucht Regeln wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Wenn die Kartenwechsel hinreichend glatt sind man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit . Aus der Analysis bekannte Begriffe wie Ableitung kann man auf natürliche Art auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (nach Bernhard Riemann ) besitzt mit der Riemannschen Metrik eine zusätzlichen Struktur die es erlaubt und Entfernungen zu bestimmen.

Warnung: Eine Kugel ist ein Beispiel für Mannigfaltigkeit die in einen Euklidischen Raum höherer Dimension eingebettet ist. Eine solche Einbettung existiert nicht jede Mannigfaltigkeit (vgl. Einbettungssatz von Whitney und Einbettungssatz von Nash). Die mathematische von Mannigfaltigkeiten nimmt daher keinen Bezug auf Einbettungsraum.

In der Physik finden differenzierbare Mannigfaltigkeiten Verwendung als Phasenräume der klassischen Mechanik und als vierdimensionale Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten zur der Raum-Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie .

Ränder Orientierung

Eine Kugel (=Kugeloberfläche) ist eine Mannigfaltigkeit ohne Rand . Das Innere einer Kugel dagegen ist Mannigfaltigkeit mit Rand ; ihr Rand ist gerade die Kugeloberfläche. verzichten hier auf eine technische Definition des Rand ( boundary ) und weisen daraufhin dass die im gegebenen Definition des Begriffs Mannigfaltigkeit nur Mannigfaltigkeiten ohne Ränder einschließt.

Mannigfaltigkeiten können orientierbar sein. Das bekannteste Beispiel einer nicht-orientierbaren ist das Möbiusband . Auch solche Mannigfaltigkeiten werden wir im nicht betrachten

Topologische Mannigfaltigkeiten

Eine topologische <math>n</math>-Mannigfaltigkeit ist ein parakompakter Hausdorff-Raum in dem jeder Punkt eine offene besitzt die homöomorph zu einer offenen Teilmenge <math>\mathbb{R}^n</math> ist.

Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Raum: sie sind lokal wegzusammenhängend lokal kompakt lokal metrisierbar.

Es ist nicht möglich alle Mannigfaltigkeiten klassifizieren. Die zusammenhängenden 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (ohne Rand) die reelle Zahlengerade <math>\mathbb{R}</math> und der Kreis <math>\mathbb{S}^1</math>. Die Klassifikation der 2-Mannigfaltigkeiten ist bekannt aber schon für die 3-Mannigfaltigkeiten ist Problem ungelöst (für den Beweis der Poincaré-Vermutung sind 1.000.000 US-$ ausgelobt worden). Die Fälle können nicht klassifiziert werden (jede endlich-erzeugte ist als Fundamentgruppe eines solchen Raumes realisierbar).

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Um differenzierbare Funktionen zu betrachten reicht Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus. Es <math>M</math> eine solche topologische <math>n</math>-Mannigfaltigkeit ohne Rand. offene Teilmenge von <math>M</math> auf der ein Homöomorphismus einer offenen Menge von <math>\mathbb{R}^n</math> definiert ist man eine Karte . Eine Sammlung von Karten die <math>M</math> nennt man einen Atlas von <math>M</math>. Sich überlappende Karten induzieren Homöomorphismus (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel ) zwischen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{R}^n</math>. Falls einen Atlas <math>\mathcal{A}</math> alle solche Abbildungen <math>k</math>-mal sind dann nennt man <math>\mathcal{A}</math> einen <math>C^k</math>-Atlas. <math>C^k</math>-Atlanten (der selben Mannigfaltigkeit) nennt man genau miteinander verträglich wenn ihre Vereinigung wieder einen <math>C^k</math>-Atlas Diese Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation . Eine <math>C^k</math>-Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit <math>C^k</math>-Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von <math>C^k</math>-Atlanten). Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ <math>C^\infty</math>. Sind Kartenwechsel sogar analytisch dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch <math>C^\omega</math>-Mannigfaltigkeit .

Auf einer <math>C^k</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> nennt man Funktion <math>f:M\to\mathbb{R}</math> genau dann <math>s</math>-mal differenzierbar (<math>s\le wenn sie auf jeder Karte <math>s</math>-mal differenzierbar

Zu jeder <math>C^r</math>-Mannigfaltigkeit (<math>r>0</math>) existiert ein der beliebig oft differenzierbar oder sogar analytisch In der Tat ist diese Struktur sogar d.h. es ist keine Einschränkung der Allgemeinheit dass jede Mannigfaltigkeit analytisch ist (wenn man differenzierbaren Mannigfaltigkeiten redet). Frage: Setze ich hier voraus????

Diese Aussage ist aber für topologische der Dimension <math>4</math> oder höher nicht mehr richtig: So gibt es sowohl <math>C^0</math>-Mannigfaltigkeiten die differenzierbare Struktur besitzen als auch <math>C^1</math>-Mannigfaltigkeiten (oder <math>C^\omega</math>-M. s.o.) die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten unterschiedlich als topologische Mannigfaltigkeiten gleich sind. Das bekannteste für den zweiten Fall sind die so exotischen <math>7</math>-Sphären die alle homöomorph zu <math>\mathbb{S}^7</math> untereinander nicht diffeomorph) sind. Da die topologische die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension übereinstimmen solche Resultate leider nur schwer zu veranschaulichen.

Tangentialbündel

An jedem Punkt <math>p</math> einer differenzierbaren nicht einer topologischen) Mannigfaltigkeit findet man einen Tangentialraum . In einer Karte heftet man an Punkt einfach einen <math>\mathbb{R}^n</math> an und überlegt dann dass das Differential eines Koordinatenwechsels an Punkt einen linearen Isomorphismus definiert der die des Tangentialraums in die andere Karte leistet. definiert man den Tangentialraum an <math>p</math> entweder den Raum der Derivationen an diesem Punkt oder den Raum Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven (wobei die Äquivalenzrelation wann die Geschwindigkeitvektoren zweier Kurven an <math>p</math> sein sollen).

Die Vereinigung aller Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit ein Vektorbündel das Tangentialbündel genannt wird.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Auf einer "nackten" differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist nicht möglich Abstände Winkel oder Volumen zu Die üblichste Art alle diese Größen festzulegen die Angabe eines Skalarproduktes an jedem Punkt des Raumes (oder einer orthonormalen Basis von Tangentialvektoren). Eine solche nennt man dann Riemannsche Mannigfaltigkeit .

Lie-Gruppen

Eine Lie-Gruppe <math>G</math> ist sowohl eine Mannigfaltigkeit als eine Gruppe . Man fordert dass beide Strukturen miteinander sind. Diese Objekte beschreiben typische Symmetrien von Strukturen und physikalischen Systemen.



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