Ringtheorie

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der ähnlich wie in den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist.

Definition (Ring)

Formal definiert ist ein Ring eine Menge <math>\mathcal{R}</math> mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen bezeichnet als Addition (<math>+</math>) und Multiplikation (<math>\cdot</math>). Bezüglich der Addition ist <math>\mathcal{R}</math> abelsche Gruppe deren neutrales Element 0 genannt wird. Die Multiplikation ist assoziativ . Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz verknüpft das heißt:

 a \cdot (b + c) = \cdot b + a \cdot c  

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Eigenschaften

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst zugrundeliegendem Ring). In diesem Fall sind die im Ring R gerade die Untermoduln des Moduls R .

Arten von Ringen

Ist die Multiplikation kommutativ spricht man von einem kommutativen Ring .

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein Element so wird dies normalerweise als 1 man hat dann einen Ring mit 1 oder unitären Ring .

Ist <math>\mathcal{R}</math> ein Ring mit <math>1\neq und gibt es zudem für alle <math>a\in\mathcal{R}\setminus\{0\}</math> multiplikatives Inverses so heißt <math>\mathcal{R}</math> Schiefkörper ist der Schiefkörper <math>\mathcal{R}</math> zudem noch nennt man ihn einen Körper .

Gibt es in <math>\mathcal{R}</math> keine von verschiedenen Elemente <math>a b</math> so dass <math>a\cdot = 0</math> dann heißt <math>\mathcal{R}</math> nullteilerfrei .

Ist <math>\mathcal{R}</math> ein nullteilerfreier kommutativer Ring <math>1\neq 0</math> dann nennt man <math>\mathcal{R}</math> Integritätsring .

Bücher zum Thema Ringtheorie

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