Rotation (Mathematik)

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Die Rotation ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis eine Funktion eines Vektorfeldes . Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld gibt die Rotation für jeden Ort an schnell und um welche Achse ein mitschwimmender rotieren würde. Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren. Hier einige praktische

Ein Wirbelsturm rotiert um sein so genanntes Auge ein Vektorfeld das die Windgeschwindigkeiten eines Wirbelsturms hat eine von Null verschiedene Rotation im und möglicherweise noch an anderen Stellen.
Ein Vektorfeld das die Geschwindigkeit jedes einer rotierenden Scheibe angibt hat an jedem dieselbe von Null verschiedene Rotation.
Das Vektorfeld einer Autobahn deren Spuren rechts nach links ansteigende Fahrzeuggeschwindigkeiten aufweisen hat den Mittellinien zwischen den Spuren eine von verschiedene Rotation.

Definition

Die Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes F = (F _x F _y F _z) ist wiederum ein dreidimensionales Vektorfeld. Es geschrieben als

<math>\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F</math>

wobei <math>\nabla</math> der Nabla-Operator und rot das Funktionssymbol der Rotation Das Kreuz bezeichnet dabei formal ein Kreuzprodukt so dass die Rotation in kartesischen Koordinaten folgendermaßen definiert ist

<math>\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F =

\begin{pmatrix}

 \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ z}

\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

 {\partial F_z / \partial y} - F_y / \partial z} \\ {\partial F_x \partial z} - {\partial F_z / \partial \\ {\partial F_y / \partial x} - F_x / \partial y}

\end{pmatrix}</math>

Alternativ lässt sich die Rotation auch als formale Determinante der Matrix

<math>\nabla\times\vec F =

\begin{vmatrix}

 \vec e_x & \vec e_y & e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & \end{vmatrix}

</math>

Rechenregeln

<math>\forall\;\vec c=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}\qquad c_i=const(i=1 2 \ldots n)</math>

<math>\operatorname{rot}\ c\cdot\vec{F} =c\cdot\operatorname{rot}\ \vec{F}</math>
<math>\operatorname{rot}\ (\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{rot}\ \vec{F}+\operatorname{rot}\ \vec{G}</math>
<math>\operatorname{rot}\ (u\cdot\vec{F}) =u\cdot\operatorname{rot}\ \vec{F}-\vec{F}x\cdot\operatorname{grad}\ u</math>
<math>\operatorname{rot}\ \operatorname{grad}\ u=0</math>

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein von Pseudovektoren das bedeutet dass die Rotation Vektorfeldes beim Wechsel von einem linkshändigen Koordinatensystem einem rechtshändigen das Vorzeichen wechselt. Analog ist Rotation eines Pseudovektorfeldes ein Vektorfeld.

Siehe auch: Divergenz (Mathematik) Gradient (Mathematik) .

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