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| Nachrichten | Lexikon | Protokolle | Bücher | Foren | Sonntag, 27. Mai 2012 |
Russellsche AntinomieDieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell formuliertes Paradoxon auf der Grundlage der naiven Mengenlehre . Die Menge M ist definiert als die "Menge aller die sich nicht selbst enthalten". Diese Definition führt zu einem Widerspruch da sich M sowohl selbst enthält als auch nicht enthält. Es gibt zahlreiche populäre Formulierungen der Antinomie. Bekannt ist der Barbier der alle im Ort rasiert die sich nicht selbst Die Frage ob sich der Barbier selbst oder nicht führt ebenfalls zu einem Widerspruch. Ein älteres Exemplar: Epimenides der Kreter Alle Kreter lügen. Durch den axiomatischen Aufbau der Mengenlehre sich Antinomien vermeiden. Er zeigt dass die aller Mengen die sich nicht selbst enthalten Menge sein kann sondern eine Klasse bildet eben weil das sonst zu einem Widerspruch Die Klassendefinition dieser Mengenzusammenfassung ist jedoch in widerspruchsfrei und bildet die leere Klasse.
GeschichteEs ist nicht klar wann Russell Paradoxon entdeckte es wird jedoch vermutet dass im Frühjahr des Jahres 1901 war als er an seinen Grundlagen der Mathematik arbeitete. 1902 schrieb Russel an Gottlob Frege . Frege hatte ein mengentheoretisches Axiomensystem für Logik aufgebaut. Die Russellsche Antinomie zeigte dass Axiomensystem nicht widerspruchsfrei war. Frege erkannte sofort von Russell aufgezeigten Schwierigkeiten. Er ergänzte die seines gerade in Druck befindlichen Buches Grundgesetze der Arithmetik durch einen Anhang. Es wird vermutet Frege schließlich seine Arbeiten auf dem Gebiet axiomatischen Logik aufgrund der Entdeckung des ParadoxonsRussell selbst versuchte das Paradoxon durch Typentheorie zu lösen. Nach dieser Theorie gibt einfache Mengen die nur einfache Elemente jedoch Mengen als Elemente enthalten können. Mengen die Mengen und Elemente enthalten gehören zum zweiten Mengen die Mengen des zweiten Typs enthalten zum dritten Typ usw. In diesem System die Darstellung der Menge aller sich nicht enthaltenden Mengen schon aus syntaktischen Gründen nicht Er legte eine einfache Version dieser Theorie Jahre 1903 (im Anhang seiner Principles of Mathematics ) und eine erweiterte Version im Jahre 1908 (dargelegt in Mathematical Logic as based on the Theory Types ) vor die Eingang in das berühmte Principia Mathematica fand welches er nach beinahe Vorbereitungszeit zusammen mit Alfred North Whitehead ab 1910 veröffentlichte. Die frühe Version der Typentheorie (seit Simplified Theory of Types (STT) genannt) ist ausreichend zur Lösung Vermeidung der logischen bzw. mengentheoretischen Paradoxien wie Russellschen Antinomie ist aber nicht hinreichend für Lösung der semantischen Paradoxien; dies vermag erst signifikant kompliziertere von 1908 stammende Version der Typentheorie die Ramified Theory of Types (RTT). 1908 veröffentlichte Ernst Zermelo ein axiomatisches System der Mengenlehre das Abraham Fraenkel 1922 erweiterte die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre . Dieses System vermeidet das Russellsche Paradoxon ist jedoch unbewiesen ob es widerspruchsfrei ist. Der Mathematiker David Hilbert schlug vor nur endliche exakt definierte konstruierbare Objekte in mathematischen Theorien zuzulassen. In 1930er Jahren bewiesen Kurt Gödel und Alan Turing die Unvollständigkeit solcher Theorien.
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