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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 22. September 2014 

Satzgruppe von Vietá


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In der Mathematik betrachtet man quadratische Gleichungen
x ² + px + q = 0
über deren Lösungen (Wurzeln) x 1 und x 2 die Satzgruppe von Vietá folgendes besagt:
  • p = -( x 1 + x 2 )
  • q = x 1 x 2
  • x 2 + px + q = ( x - x 1 )( x - x 2 )

Beispiel: Gleichung mit vorgegebenen Nullstellen

Bestimme die quadratische Gleichung x² + + q = 0 für die es Lösungen gibt:

x 1 = +2 und x 2 = -2

Erster Lösungsweg:

p = -(x 1 + x 2 ) = -((+2) + (-2)) = 0
q = x 1 · x 2 = (+2) · (-2) = -4

Zweiter Lösungsweg:

x 2 + px + q = (x x 1 )·(x - x 2 ) = (x - (+2))·(x - (-2)) (x-2)(x+2) = x 2 - 4

Ergebnis:

x² + 0 · x + = 0
x² - 4 = 0

Beispiel: Nullstellen einer vorgegebenen Gleichung

Ist die quadratische Gleichung x 2 - 7x + 10 = 0 dann muss für die Nullstellen x 1 x 2 gelten:

x 1 + x 2 = 7
x 1 · x 2 = 10
Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein zu 7 aufaddiert werden können. Mit etwas findet man die Nullstellen 2 und 5. Probe berechnen wir (x - 2)·(x - = x 2 - 7x + 10.

Verallgemeinerung

Die Gleichung

x 2 + px + q = ( x - x 1 )( x - x 2 )
lässt sich leicht für Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades als Wurzelsatz von Vietá verallgemeinern:

Das (reelle oder komplexe) Polynom

<math>
 P(x) = a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots{}+a_2x^2+a_1x^1+a_0  
</math> mit den (komplexen) Nullstellen x 1 bis x n lässt sich darstellen als: <math>
 P(x) = a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})\cdots{}(x-x_2)(x-x_1)  
</math>

Der Verallgemeinerung der ersten beiden Aussagen etwas komplizierter: Für die Polynomgleichung

<math>
 1\cdot{}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots{}+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0  
</math>

mit den Lösungen x 1 bis x n gilt:

<math>
\begin{matrix} a_{n-1} &=& -p_1 \\ a_{n-2} p_2 \\ a_{n-3} &=& -p_3 \\ a_{n-4} p_4 \\
 &\vdots{}& \\  
a_{0} &=& (-1)^{n}p_n \\ \end{matrix} </math>

wobei p k die Summe über alle Produkte von k Lösungen ist (wobei die Reihenfolge der nicht unterschieden wird). Für ein Polynom vierten

<math>
 P(x) = x^4 + a_3x^3 a+2x^2 a_1x + a_0 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)  
</math> gilt also
<math>
\begin{matrix} a_3 &=& -p_1 &=& -(x_1+x_2+x_3+x_4)\\ &=& p_2 &=& x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\ a_1 &=& -p_3 -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)\\ a_0 &=& p_4 &=& x_1x_2x_3x_4\\ \end{matrix}

Die Terme p 1 bis p n nennt man auch elementarsymmetrische Terme in den Werten x 1 bis x n ; sie bleiben bei Vertauschen der Werte sind also symmetrisch .



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