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Schrödingergleichung


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Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik . Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems. Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger gefunden.

Die Schrödingergleichung lautet für ein einzelnes (etwa ein Elementarteilchen oder ein Atom) im Potential V dessen Zustand durch die Wellenfunktion ψ beschrieben ist:

<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r} t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r} t)+V(\mathbf{r} t)\psi(\mathbf{r}

Man erhält diese Gleichung aus der klassischen Energiegleichung

<math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r} t)</math>
durch Ersetzung von Energie und Impuls die Operatoren
<math>E \rightarrow \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>

<math>\mathrm{p}\rightarrow -\mathrm{i}\hbar\nabla</math>
und anschließendem Anwenden auf <math>\psi(\mathbf{r} t)</math>.

Den Operator auf der rechten Seite Schrödingergleichung nennt man auch Hamilton-Operator und bezeichnet mit H . Mit diesem lautet die Schrödingergleichung einfach

<math>\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r} t) = H t)</math>

Durch Separation der Variablen kann für Hamiltonoperatoren (also insbesondere zeitunabhängige Potentiale) die so zeitunabhängige Schrödingergleichung

<math>H \psi(\mathrm{r}) = E \psi(\mathrm{r})</math>
hergeleitet werden. Entsprechend nennt man die Schrödingergleichung auch die zeitabhängige Schrödingergleichung .

Schrödingergleichungen lassen sich allerdings nur für Wasserstoffatom exakt berechnen. Schon beim H 2 + Ion ist eine exakte Lösung nicht möglich. Daher müssen Schrödingergleichungen vereinfacht werden. Eine möglichen Vereinfachung ist die Born-Oppenheimer-Approximation .



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