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Sinus


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Die Sinus funktion ist eine trigonometrische Winkelfunktion . In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathete (das ist Kathete die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypothenuse.

Ist c die Hypothenuse und liegt der Winkel der Kathete a gegenüber dann gilt:

<math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math>

Inhaltsverzeichnis

Funktionswert

Der Wert des Sinus schwankt zwischen und 1. Bei 0° (0 Grad ) ist sein Wert 0 im Intervall (0° 180°) ist er positiv (mit Maximum 1 bei 90°) und im Intervall 360°) negativ (mit Minimum -1 bei 270°). Danach ist er periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant ). Stellt man die Funktion graphisch dar man eine Sinuswelle. Dieses Verhalten kann auch schön am Einheitskreis dargestellt werden.

Sinusfunktion

Eingenschaften der Sinusfunktion

<math>\sin\left(\alpha\right)=\sin(\alpha+2\pi)</math>

<math>\sin\left(-\alpha\right)=-\sin(\alpha)</math>

Zusammenhang mit Kosinus

<math> \sin(\alpha)=\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})</math>
<math> \sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2(\alpha)=1</math> ( Satz des Pythagoras )
<math> \sin^\prime(\alpha)=\cos(\alpha)</math> ( Ableitung des Sinus)
<math> \int\sin(\alpha)d\alpha=-\cos(\alpha)+C</math> ( Stammfunktion des Sinus)

Zusammenhang mit den Arkusfunktionen

<math>\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}</math>
<math>\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>

Reihenentwicklung des Sinus

<math>\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\ldots</math>

Dieses Ergebnis bekommt man auch als Taylorreihe um 0. Zur näherungsweisen Berechnung des eignen sich endliche Teilsummen dieser Reihe. Im Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben.

Die Bezeichnung "Sinus" leitet sich von lateinischen "sinus" ab was soviel heisst wie oder "Busen". Das Wort ist mit "jiva" dem Sanskrit verwandt wo es etwa "Bogensehne" bedeutet. Arabischen entwickelte sich das Wort zu "jiba": oder "Kleiderfalte".

Siehe auch

Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen Sinussatz



Bücher zum Thema Sinus

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