Sophie-Germain-Primzahl

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiele

3 Bedeutung

3.1 Namensgebung
3.2 Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen
3.3 Häufigkeit von Sophie Germain Primzahlen

4 offene Fragen

5 Weblinks

Definition

Eine Primzahl p nennt man Sophie Germain Primzahl oder auch Germain'sche Primzahl wenn auch 2 p +1 eine Primzahl ist.

Beispiele

p = 2 ist eine Sophie Primzahl denn 2p + 1 = 5 prim. Das gleiche gilt für 3 5

p = 7 ist keine Sophie Primzahl denn 2p + 1 = 15 nicht prim.

Zwischen 1 und 10.000 gibt es Sophie Germain Primzahlen.

Die größten bekannten Beispiele sind

92.305 · 2 ^16.998 + 1 eine Zahl mit 5117 die 1998 von Hoffmann gefunden wurde
109.433.307 · 2 ^66.452 - 1 eine Zahl mit 20.013 welche 2001 von Underbakke (und anderen) gefunden

Der Name dieser Primzahlen geht auf Mathematikerin Sophie Germain zurück. Diese beschäftigte sich mit der Fermat'schen Vermutung und bewies ca. 1823 dass diese Vermutung für alle Sophie Primzahlen zutrifft.

Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen

Die folgende Eigenschaft wurde von Euler und Lagrange bewiesen:

Ist p > 3 und p = (mod 4) und p eine Sophie Germain dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).

Beispiel : p=11 ist eine Sophie Germain Primzahl 2p+1 = 23 ist prim. Weiter ist = 3 (mod 4) denn 11 dividiert 4 ergibt als Rest 3. Die 11. M(11) = 2 ¹¹ -1 = 2047 = 89 * also ist M(11) teilbar durch 2p+1 =

Häufigkeit von Sophie Germain Primzahlen

1922 veröffentlichten Hardy und Littlewood ihre Vermutung der Häufigkeit von Sophie Germain Primzahlen:

Die Anzahl aller Sophie Germain Primzahlen unterhalb Grenze x beträgt ungefähr

mit C = 0 6601618158.

Diese Formel kann man mit den bekannten Germain Primzahlen recht gut bestätigen.

offene Fragen

Man vermutet dass es unendlich viele Germain Primzahlen gibt aber ein Beweis dafür bis heute (Februar 2004) nicht gefunden.

Weblinks

Bücher zum Thema Sophie-Germain-Primzahl

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