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Statistische Mechanik


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Die Statistische Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik . Sie betrachtet Systeme vieler Teilchen (i.A. Moleküle Elementarteilchen ) und gewinnt aus den mikroskopischen Eigenschaften Wechselwirkungen dieser Teilchen Aussagen über das makroskopische des Systems unter Benutzung statistischer Methoden. Insbesondere Zustandsgleichungen der Thermodynamik aus mikroskopisch-statistischen Modellen abgeleitet.

In der statistischen Mechanik wird der eines physikalischen Systems nicht mehr durch mechanische der einzelnen Teilchen bzw. ihren reinen quantenmechanischen Zustand charakterisiert sondern nur durch eine derartige mikroskopische Zustände vorzufinden.

Die statistische Mechanik ist vor allem Arbeiten von Ludwig Boltzmann Josiah Willard Gibbs und James Clerk Maxwell entstanden.

Von zentraler Bedeutung für die statistische ist die Boltzmannsche Formel

<math>S = k_B~\ln~\Omega</math>

Hier bezeichnet S die (statistische) Entropie eines makroskopischen Systems. Die Größe <math>\Omega</math> die Zahl der Mikrozustände an (z.B. augenblickliche in einem Gas) die mit dem thermodynamischen Zustand (z.B. gegebenes Volumen) verträglich sind (Boltzmann diese Größe als "Komplexion" des markoskopischen Zustands). Konstante <math>k_B</math> wird als Boltzmannkonstante bezeichnet und hat die Einheit der [ Joule / Kelvin ].

Es wird also angenommen dass nicht einziger mikroskopischer Zustand sondern vielmehr alle möglichen Zustände das makroskopische Verhalten eines physikalischen Systems Diese Annahme ist komplementär zur mechanischen bzw. Beschreibung eines Systems.

Ein klassisches Beispiel für die Anwendung Boltzmannschen Formel ist die Ableitung der Zustandsgleichung idealen Gases .

Die Tatsache dass in der statistischen bei der Berechnung physikalischer Größen Mittelwerte über alle möglichen mikroskopischen Zustände gebildet wird oft durch den Begriff des statistischen Ensembles ausgedrückt. Hierin unterscheidet man insbesondere Systeme Energieabschluss (vollständig isoliert) als mikrokanonisches Ensemble Systeme in Kontakt mit einem Wärmereservoir Temperatur) als kanonisches Ensemble sowie Systeme bei denen Teilchen ausgetauscht können (z.B. bei der Beschreibung von Phasenübergängen) makrokanonisch .

Für die verschiedenen Ensemble kann die Größe <math>\Omega</math> durch eine so genannte Zustandssumme werden.

Spielen quantenmechanische Effekte (Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Spin ) eine Rolle was i.A. nur bei Temperaturen der Fall ist können besondere Erscheinungen werden. Für Systeme mit ganzzahligem Spin ( Bosonen ) folgt die Bose-Einstein-Statistik welche unterhalb einer kritischen Temperatur einen Quantenzustand vorhersagt - die Bosekondensation. Ein Beispiel ist der Supraleiter. Systeme mit halbzahligem Spin Fermionen ) gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik . Hierbei blockieren die Teilchen die quantenmechanischen mit der geringsten Energie sodass eine charakteristische "Energiekante" entsteht die Fermieenergie. Dieser Effekt ist für die Stabilität der Atomhülle (hier auch dem Namen Pauliprinzip bekannt) und auch für die besonderen der Halbleiter.



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