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Stellenwertsystem


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Stellenwertsysteme (auch Positionssysteme genannt) sind eine Möglichkeit um mit Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) möglichst kompakt möglichst große Zahlen zu können. Man spricht in diesem Zusammenhang von der b - adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p -adischen Zahlen ) wobei die Variable b für die Anzahl der Symbole steht. Wert von b wird in diesem Zusammenhang auch oft Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Im folgenden soll diese Art der von Zahlen erklärt werden. Dabei ist streng unterscheiden ob es sich um Ziffern (also oder um Zahlen handelt. Um Verwechslungen zu sind im folgenden Ziffern im Unterschied zu immer fett gedruckt.

Inhaltsverzeichnis

Ziffern

Die b -adische Darstellung einer Zahl verwendet wie gesagt b Ziffern (wobei b hier für eine beliebige natürliche Zahl größer als 1 steht). Jeder dieser b Ziffern wird injektiv eine der Zahlen von 0 bis b -1 zugeordnet. Injektiv bedeutet hierbei dass jeder eindeutig eine Zahl aus 0 bis b -1 zugeordnet wird.

Beispiele:

  • Im Binärsystem (dyadischen System nach Leibniz) mit b =2 verwendet man die Ziffern 0 und 1 und ordnet ihnen die Zahlen 0 1 zu.

  • Im Dezimalsystem (dekadischen System nach Leibniz) ist b =10 und man verwendet gewöhnlich die 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 und 9 und ordnet diesen (in dieser Reihenfolge) Zahlen 0 1 2 3 4 5 7 8 9 zu.

Für b <10 verwendet man gewöhnlich die ersten b Ziffern wie im Dezimalsystem. Für b >10 verwendet man gewöhnlich ebenfalls die Ziffern Dezimalsystems und als neue zusätzliche Ziffern die Buchstaben des Alphabets.

Beispiel:

  • Im Hexadezimalsystem mit b =16 werden zusätzlich die Ziffern A B C D E und F gebraucht und diesen (wieder in dieser die Zahlen 10 11 12 13 14 15 zugeordnet.

Die Zuordnung der Zahlen zu den bezeichnen wir im folgenden mit f d.h. im Hexadezimalsystem wäre f ( 7 )=7 und f ( D )=13.

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der b -adischen Darstellung durch eine beliebige (endliche) Folge

<math>a_0 a_1 a_2 \ldots a_n</math>

von Ziffern dargestellt. Jedes a i steht hier also für eine Ziffer. notiert man die Folge aber nicht wie gezeigt von links nach rechts und durch getrennt sondern von rechts nach links und Komma also:

<math>a_n \ldots a_2 a_1 a_0</math>

Der Folge wird nun die Zahl

<math>\sum_{i=1} ^{n} f(a_i) \cdot b^i = f(a_0) f(a_1) \cdot b + f(a_2) \cdot b^2 ... + f(a_n) \cdot b^n</math>

zugeordnet.

Man kann zeigen dass zu jeder Zahl x eine Folge von Ziffern existiert deren Wert x ist. Im allgemeinen gibt es sogar Folgen man braucht dazu nur beliebig oft Ziffer 0 mit f ( 0 )=0 an die Folge anhängen (d.h. in üblichen Schreibweise voranstellen). Verbietet man Folgen die der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also mit führender 0 ) so lässt sich zeigen dass diese sogar eineindeutig ist d.h. zu jeder natürlichen x existiert genau eine Folge deren zugeordneter x ist. Ausgenommen von diesem Verbot ist die Folge 0 also die Folge die aus nur Ziffer besteht deren Wert 0 ist. Man diese Folge um auch die Zahl 0 zu können.

Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4B3 im Hexadezimalsystem ( b =16). a 0 ist hier 3 a 1 ist hier B und a 2 ist 4 . Ferner ist f ( 3 )=3 f ( B )=11 und f ( 4 )=4. Also repräsentiert die Folge 4B3 die Zahl

<math>f(a_0) + f(a_1) \cdot b + f(a_2) b^2 = 3 + 11 \cdot 16 4 \cdot 16^2 = 3 + 176 1024 = 1203.</math>

Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Binärsystem ( b = 2) die Zahl

<math>1 + 1 \cdot 2 + 0 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 2^4 + 0 \cdot 2^5 + 1 2^6 = 1 + 2 + 16 64 = 83</math>.

Im Dezimalsystem ( b =10) steht 3072 für:

<math>2 + 7 \cdot 10 + 0 10^2 + 3 \cdot 10^3 = 3072</math>.

Darstellung ganzer Zahlen

Ganze Zahlen stellt man wie natürliche Zahlen durch Ziffernfolgen dar mit dem Unterschied dass man Zahlen das Minuszeichen als Symbol voranstellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Auch Rationale Zahlen lassen sich b -adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem trennt man mit Komma ab und multipliziert die Werte Ziffern hinter dem Komma mit b - i wobei i die Position hinter dem Komma angibt.

Zum Beispiel wird die rationale Zahl = 1 375 im 2-adischen (dyadischen) Stellenwertsystem die Ziffernfolge 1 011 dargestellt. In der Tat ist

<math>1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot + 1\cdot 2^{-3} = 1 + 0/2 1/4 + 1/8 = 1+3/8</math>.

Es kann dabei vorkommen dass zur eine unendliche aber periodische Folge von Nachkommastellen wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet so eine endliche Darstellung möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0 2 hat ist ihre Binärdarstellung periodisch:

<math>\mathbf{0 00110011\ldots} = \mathbf{0 \overline{0011}}</math>

Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0 1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale 1·3 -1 =1/3 die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen entspricht.

Wichtig ist es an dieser Stelle erkennen dass die Zifferndarstellung mancher rationaler Zahlen mehr eindeutig ist. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1 1 0 und 0 999... im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) 1. Während man die ersten beiden Darstellungen als gleichwertig erkennt benötigt man eine geometrische Reihe um

<math>\mathbf{0 999}\ldots = \sum_{i=1}^\infty 9\cdot 10^{-i} = \sum_{i=1}^\infty 10^{-i} = 9\cdot \frac{1}{9} = 1</math>
nachzuweisen. (Der "alltagstaugliche" Beweis
1 = 9/9 = 9·(1/9) = 9·( 0 111... ) = 0 999...
macht von dieser unendlichen Reihe Gebrauch.) Phänomen tritt bei jeder Basis b auf denn falls n die Ziffer mit dem Wert b -1 bezeichnet dann hat die Ziffernfolge
<math>
 \mathbf{0 nnn...}=\mathbf{0 \overline{n}}  
</math>
den Wert 1.

Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell wie die von rationalen Zahlen durch b -adische Entwicklung (die sollte noch an geeigneter Stelle erklärt .

Bei rationalen Zahlen liefert diese eine oder eine periodische Ziffernfolge mit der eine b -adische Darstellung dieser Zahl möglich ist.

Die b -adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder <math>\sqrt{2}</math>) liefert dagegen stets eine nichtperiodische Ziffernfolge.

Irrationale Zahlen können nicht durch eine Ziffernfolge dargestellt werden. Man kann sich zwar endlichen (oder periodischen) Dezimalbrüchen beliebig annähern jedoch eine endliche b -adische Darstellung niemals exakt.

Die endliche Darstellung ist wie hier π und √2 geschehen nur symbolisch durch zusätzliche Zeichen für einige sonst nicht darstellbare irrationale möglich.

Wenn man aber unter der "Darstellung" reellen Zahl die bei der b -adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge versteht dann ist reelle Zahl als (z.T. unendlicher) b -adischer Bruch darstellbar auch wenn nicht jeder Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Trotzdem kann man selbst mit beliebig vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl angeben denn man kann dass mit keinem endlichen Zeichenvorrat die endliche aller reellen Zahlen möglich ist. Dies liegt dass die Menge der rellen Zahlen überabzählbar Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichen Zeichenvorrat nur abzählbar ist.

Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen

...

Spezialfälle

...

Verallgemeinerung

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl Es wurde nachgewiesen dass sämtliche komplexen Zahlen Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth The Art of Computer Programming .

Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit und reeller Zahlen nicht. Verwendet man z.B. Goldenen Schnitt τ = (1+√5)/2 als Basis dann eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl eine irrationale Zahl der Form r + s √5 mit rationalen r s dar (dagegen hat nicht jede solche eine endliche Darstellung). Siehe dazu den englischen en:Golden mean base .

Siehe auch




Bücher zum Thema Stellenwertsystem

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