Stetigkeit

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen 1.1 "Naive" Definition von Stetigkeit 1.2 Stetigkeit reellwertiger Funktionen 1.2.1 Beispiele 1.3 Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume 1.4 Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen 2 Wichtige Sätze über stetige Funktionen 2.1 Satz 1 (Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen) 2.2 Bemerkung zu Satz 1

Definitionen

"Naive" Definition von Stetigkeit

Sie funktioniert nur bei Funktionen mit Veränderlichen und führt auch da mitunter zu falschen Ergebnis. Zum Beispiel ist die Funktion in ihrem Definitionsbereich R \{0} stetig da der Definitionsbereich aber eine hat muss man "den Stift absetzen" um kompletten Graphen zeichnen zu können.

Stetigkeit reellwertiger Funktionen

<math> f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig in x_0 :\Leftrightarrow \left( \forall\epsilon > 0\ \exists > 0 : \forall x \mbox{ mit - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - < \epsilon \right) </math>

<math> x x_0 </math> sind in Definition reelle Zahlen. Eine Abschwächung dieser Definition die Lipschitz-Bedingung .

Für spätere Verallgemeinerung wird im folgenden Zusammenhang mit allgemeinen metrischen und topologischen Räumen angegeben.

Topologischen Räume sind durch so genannte offene Mengen charakterisiert.

Eine offene Menge G auf der Zahlenachse ist dadurch charakterisiert dass um jeden Punkte ein offenes Intervall existiert das diesen Punkt enthält und ganz in der Menge G liegt. Ein Intervall wird über die euklidische Metrik d definiert:

<math> d(x x_0) = |x - </math>

Ein offenes Intervall um den Punkt x_0 </math> herum ist die Menge aller Zahlen x für die <math> |x - </math> kleiner als eine vorgegebene positive reelle ist.

Hierüber lassen sich dann die Eigenschaften Abbildungen zwischen topologischen Räumen motivieren (das wird unten definiert).

Beispiele

• Sind f und g stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich so sind auch f + g f - g f * g stetig. Ist <math>g(x)\ne 0</math> für alle x im Definitionsbereich dann ist auch f/g stetig.
• Die Komposition zweier stetiger Funktionen f o g ist ebenfalls stetig.

Im folgenden bezeichne f: R -> R eine Funktion

• f(x) = sin(x) ist für alle aus R stetig.
• f(x) = cos(x) ist für alle aus R stetig.
• f(x) = cos(x) + sin(x) ist alle x aus R stetig.
• f(x) = <math> e^{cos(x)}</math> ist für x aus R stetig.

Im folgenden bezeichne f: D -> R eine Funktion von einer Teilmenge D von R nach R

• f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt dann f wäre in der 0 unstetig der exakten Definition ist der Begriff der auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar f ist also weder stetig noch unstetig der 0. f ist in seinem Definitionsbereich R \{0}) stetig.
• f(x) = sin(x)/cos(x) ist stetig in Definitionsbereich d.h. in allen x aus R für die cos(x) ungleich 0 ist. bezeichnet f auch als tan .

Im folgenden bezeichne f: C -> C eine Funktion

• f(z) = exp(z) ist für alle aus C stetig

(exp bezeichne die komplexe Exponentialfunktion exp(z) = <math> e^z </math>)

Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume

Seien (X d _x ) (Y d _y ) metrische Räume dann heißt

<math>

 f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig in } :\Leftrightarrow \left( \forall\epsilon > 0\ \exists \delta 0 : \forall x \in U_\delta( x_0 \Rightarrow d_y( f(x) f(x_0) ) < \epsilon  

dabei bezeichnet U _δ (x_0) die offene δ-Umgebung um x ₀ d.h.

<math>

 U_\delta(x_0) = \{ x \in X d_x(x x_0) < \delta \} \quad . 

Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y . Dann heißt f stetig wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist oder etwas formaler:

<math>f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig } :\Leftrightarrow \forall \ U\subset Y U \mbox{ offen } Y \Rightarrow f^{-1}(U) \mbox{ ist offen } X \right)</math>

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Satz 1 (Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen)

Sei f eine reellwertige Funktion die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen x_0 </math> sei aus dem Definitionsbereich von f

dann gilt für jede Folge reeller Zahlen <math> x_n </math> aus D(f) die gegen <math> x_0 </math> konvergiert dass die Folge der Funktionswerte <math> </math> gegen <math> f(x_0) </math> konvergiert.

Bemerkung zu Satz 1

Dieser Satz gilt auch für stetige zwischen beliebigen metrischen Räumen.

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