Summe

Dieser Artikel behandelt Summen im mathematischen Sinn.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Notation 3 Unendliche Summen 4 einige nützliche Summen 5 siehe auch

Definition

Die Summe S einer Folge von beliebigen Zahlen a ₁ a ₂ ... a _n ist gegeben durch

S = a ₁ + a ₂ + ... + a _n .

Notation

Summen werden kurz mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma notiert.

<math>\sum_{j=1}^{n}a_j = \sum_{1 \leq j \leq n}a_j a_1 + a_2 + \dots + a_n</math>

Es wird entweder unter dem Sigma Zähl variable (oder Indexvariable ) mit Startwert und oberhalb des Sigmas Endwert angegeben oder unterhalb des Sigmas eine mehrere Bedingungen für die Zählvariable.

Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens Buchstaben i j und k verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht welche die Zählvariable ist muss dies im Text werden.

Unendliche Summen

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden also zum

<math>\sum_{j=1}^{\infty} a_j = \sum _{j \geq 1} = a_1 + a_2 + a_3 +

Es ist aber anzumerken dass nicht Summe die ∞ als Obergrenze besitzt eine Summe sein muss. Zum Beispiel hat die

<math>\sum_{k>0} \left[\frac{n}{p^k}\right] = \left[\frac{n}{p}\right] + \left[\frac{n}{p^2}\right] + + \dots</math>

einige nützliche Summen

<math> \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math> (Summe ersten n natürlichen Zahlen )

<math> \sum_{i=1}^n k\cdot{}i = \frac{kn(n+1)}{2} </math> (arithmetische

<math> \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 </math>

<math> \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} </math>

<math> \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 </math>

<math> \sum_{i=0}^n q^i = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} </math> ( geometrische Reihe )

<math> \sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} \qquad \mbox{mit q<1 </math>(unendliche geometrische Reihe)

<math> \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^n (siehe Binomialkoeffizient )

<math> \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} q^i = 1 + q)^n </math> (siehe Binomischer Lehrsatz )

<math> \sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n k+1} </math>

siehe auch

Bücher zum Thema Summe

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