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Supremum


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In der Mathematik treten die Begriffe Supremum Infimum obere / untere Schranke nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung von Teilmengen der reellen Zahlen auf.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Sei T eine Menge reeller Zahlen.

  • Eine reelle Zahl b heißt obere Schranke von T wenn für alle x in T gilt dass x b .
  • Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke von T wenn für alle x in T gilt dass b x .
  • Existiert eine obere Schranke von T dann heißt T nach oben beschränkt .
  • Existiert eine untere Schranke von T dann heißt T nach unten beschränkt .
  • Ist T nach oben und nach unten beschränkt heißt T beschränkt .

  • Ist T nach oben beschränkt dann existiert eine obere Schranke (Beweisidee unten) man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T in Zeichen sup( T ) .
  • Ist T nach unten beschränkt dann existiert eine untere Schranke (Beweis analog) man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T in Zeichen inf( T ) .

  • Ist T nach oben beschränkt und liegt das von T in T dann bezeichnet man es auch als Maximum von T in Zeichen max( T ) .
  • Ist T nach unten beschränkt und liegt das von T in T dann bezeichnet man es auch als Minimum von T in Zeichen min( T ) .

Eigenschaften

Ist b eine obere Schranke von T und c > b dann ist auch c eine obere Schranke von T . Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c dann ist auch b keine obere Schranke von T . Analoges gilt für untere Schranken.

Die Menge T ist genau dann beschränkt wenn es reelle Zahl R gibt so dass | x | < R für alle x aus T gilt. Man sagt dann T liegt in der offenen Kugel um mit Radius R . Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer gibt es in einem metrischen Raum .

Existenz des Supremums

Man konstruiert eine Intervallschachtelung die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert zwei Folgen von denen die erste ( a n ) monoton wachsend ist und nicht aus Schranken von M besteht die zweite ( b n ) monoton fallend ist und aus oberen von M besteht so dass noch gilt dass Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet ob eine obere Schranke ist oder nicht). Damit man den gemeinsamen Grenzwert sup( M ) der beiden Folgen als kleinste obere von M denn:
Jedes Element von M ist kleinergleich jedem Element b n der oberen Folge also kleinergleich sup( M ) deshalb ist sup( M ) eine obere Schranke. Jede reelle Zahl kleiner ist als sup( M ) ist kleiner als ein Element a n 0 der unteren Folge also keine obere

Verallgemeinerung

Man kann die hier beschriebenen Begriffe eine beliebige total geordnete Menge definieren. Ein wesentlicher Unterschied ist aber dass nicht jede nach oben beschränkte ein Supremum haben muss. Betrachte z.B. die der rationalen Zahlen : Die Menge { x in Q | x 2 < 2} ist beschränkt hat jedoch Q weder Supremum noch Infimum.

Weblink

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/



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