Tangentialraum

In der Differentialgeometrie ist ein Tangentialraum T _p M ein Vektorraum der in einem Punkt p eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M «berührt» und mit deren lokaler Vektorraumstruktur

In der Algebraischen Geometrie muss man Definitionsansatz modifizieren um singuläre Punkte und wechselnde zu berücksichtigen.

In diesem Artikel befassen wir uns nur dem Tangentialraum über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit im der Differentialgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Übersicht 2 Formale Definitionen 2.1 Geometrische Definition: Richtungsfelder von Kurven 2.2 Algebraische Definition: verallgemeinerte Ableitungen 2.3 Physikalische Definition: Kotangentialraum 3 Eigenschaften 3.1 Tangent vectors as directional derivatives 3.2 The derivative of a map

Übersicht

Am einfachsten ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit veranschaulichen die als Untermannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Euklidischen Raum eingebettet ist zum Beispiel die Kugel (=Kugeloberfläche) S ² im R ³ . Der Tangentialraum in einem Punkt p ∈ S ² ist dann eine Ebene die genau einen Punkt mit der Kugel teilt und diesem Punkt ihren Ursprung hat.

Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt p einer Mannigfaltigkeit M einen Vektor aus dem je zugehörigen T _p M zu. Zum Beispiel könnte man mit Vektorfeld die Windstärke und -richtung auf der angeben.

Alle Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit M werden als Tangentialbündel von M zusammengefasst; das Tangentialbündel ist selbst eine seine Dimension ist doppelt so groß wie von M . Physiker denken dabei an einen Phasenraum .

Formale Definitionen

In der Literatur ist es üblich drei verschiedene Definitionen anzugeben die einer geometrischen algebraischen und einer theoretisch-physikalischen (auf Tensoren hinarbeitenden) Sichtweise entsprechen. Leider erweist sich anschauliche geometrische Zugang in der Anwendung als am mühsamsten zu handhabende.

Geometrische Definition: Richtungsfelder von Kurven

Wir nehmen an die M sei eine n -dimensionale C ^k Mannigfaltigkeit mit k ≥ 1. Wir wählen einen Punkt p aus M eine offene Umgebung U von p und eine Karte φ : U → R ⁿ .

Wir betrachten eine Familie von Kurven _i } mit γ _i : (-1 1) → M und γ _i (0) = p . Wir fordern außerdem dass die Ableitung o γ _i )'(0) der Funktion φ o γ _i : (-1 1) → R ⁿ im Punkt 0 existiert. Diese Ableitung ein Vektor in R ⁿ . Kurven γ _i für die (φ o γ _i )'(0) übereinstimmt bilden eine Äquivalenzklasse . Eine solche Äquivalenzklasse nennt man einen von M in p und schreibt dafür γ'(0). Der Tangentialraum _p M ist die Menge aller dieser Tangentenvektoren; kann zeigen dass er nicht von der der Karte φ abhängt.

Es bleibt zu zeigen dass T _p M durch Erklärung von Vektoraddition und Skalarmultiplikation einem Vektorraum gemacht werden kann. Dazu konstruieren wir Abbildung (dφ) _p : T _p M → R ⁿ mit (dφ) _p (γ'(0)) = (φ o γ)'(0) wobei die γ auf der rechten Seite ein beliebiger der Äquivalenzklasse γ'(0) ist. Man zeigt nun diese Abbildung bijektiv ist und überträgt mit ihrer Hilfe Vektorraumoperationen von R ⁿ nach M ; man zeigt außerdem dass diese Konstruktion der Wahl der Karte φ unabhängig ist.

Algebraische Definition: verallgemeinerte Ableitungen

Supppose M is a C ^∞ manifold. A real-valued function g : M → R belongs to C ^∞ ( M ) if g o φ ^-1 is infinitely often differentiable for every φ : U → R ⁿ . C ^∞ ( M ) is a real associative algebra.

Pick a point p in M . A derivation at p is a linear map D : C ^∞ ( M ) → R which has the property that for g h in C ^∞ ( M ):

D ( gh ) = D ( g )· h ( p ) + g ( p )· D ( h )

The relation between the tangent vectors earlier and derivations is as follows: if is a curve with tangent vector γ'(0) the corresponding derivation is D ( g ) = ( g o γ)'(0) (where the derivative is in the ordinary sense since g o γ is a function from 1) to R ⁿ ).

Physikalische Definition: Kotangentialraum

Again we start with a C ^∞ manifold M and a point p in M . Consider the ideal I in C ^∞ ( M ) consisting of all functions g such that g ( p ) = 0. Then I and I  ² are real vector spaces and T _p M may be defined as the dual of the quotient space I / I  ² . This latter quotient space is also as the cotangent space of M at p .

While this definition is the most it is also the one most easily to other settings for instance to the considered in algebraic geometry.

If D is a derivation then D ( g ) = 0 for every g in I ² and this means that D gives rise to a linear map I / I ² → R . Conversely if r : I / I ² → R is a linear map then D ( g ) = r (( g - g ( p )) + I  ² ) is a derivation. This yields the between the tangent space defined via derivations the tangent space defined via the cotangent

Eigenschaften

If M is an open subset of R ⁿ then M is a C ^∞ manifold in a natural manner (take charts to be the identity maps) and tangent spaces are all naturally identified with R ⁿ .

Tangent vectors as directional derivatives

One way to think about tangent is as directional derivatives . Given a vector v in R ⁿ one defines the directional derivative of smooth map f : R ⁿ → R at a point p by

<math>D_v f(p) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}f(p+tv)=\sum_{i=1}^{n}v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)</math>

Since tangent vectors to a general can be defined as derivations it is to think of them as directional derivatives. if v is a tangent vector of M at a point p (thought of as a derivation) then the directional derivative in the direction v by

D _v ( f ) = v ( f )

D _v ( f ) = ( f o γ)'(0)

The derivative of a map

Every differentiable map f : M → N between C ^k manifolds induces natural linear maps between corresponding tangent spaces:

(d f ) _p : T _p M → T _{f ( p )} N

(d f ) _p (γ'(0)) = ( f o γ)'(0)

(d f ) _p ( D )( g ) = D ( g o f )

The linear map (d f ) _p is called variously the derivative total derivative differential or pushforward of f at p . It is frequently expressed using a of other notations

df _p   Df _p   f _∗   f ′( p )

An important result regarding the derivative is the follwing:

Theorem . If f : M → N is a local diffeomorphism at p in M then (d f ) _p : T _p M → T _{f ( p )} N is a linear isomorphism. Conversely if f ) _p is an isomorphism then there is open neighborhood U of p such that f maps U diffeomorphically onto its image.

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