Taylor-Formel

Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ Anwendbarkeit sowie Nützlichkeit Hilfsmittel in vielen Natur- Ingenieurwissenschaften geworden.

Sei I ein reelles Intervall und f : I -> R eine ( n +1)-mal stetig differenzierbare Funktion dann gilt für alle a und x aus I :

<math> f(x) = T_{n} (x) + R_{n+1}

mit dem so genannten n -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

<math>

 T_{n}(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + (a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n  

und dem so genannten ( n +1)-ten Restglied

<math>

 R_{n+1}(x)  

\frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt </math>. In Formeln stehen

<math> f' f \dots f^{(n)} </math>

für die erste zweite ... n -te Ableitung der Funktion f . Der Beweis dieser Formel für das erfolgt durch Induktion der Induktionsanfang n

<math> f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) </math>

Der Induktionsschritt erfolgt durch partielle Integration.

Restgliedformeln

Es gibt außer der Integralformel noch Darstellungen des Restgliedes. Eine ist die Lagrangesche Form des Restgliedes:

<math>

 R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}  

Sie ist der Spezialfall p = n +1 der Schlömilchschen Restgliedform für die natürliche Zahl p mit 1 <= p <= n +1:

<math>

 R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^{p}  

Das Restglied hat die Eigenschaft für x gegen a schnell gegen 0 zu konvergieren genauer

<math>

 \lim_{x\to a} \frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^n} = 0  

Das bedeutet je näher x bei a liegt desto besser stimmt das Taylorpolynom T _n an der Stelle x mit der Funktion f überein.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln vorgestellt für Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Das dritte Taylorpolynom T _{3 sin} der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 diese Gestalt:

<math> \sin(x) \approx T_{3 \sin}(x) = x \frac{x^3}{6} </math>

Liegt x zwischen -π/4 und π/4 dann liegt relative Abweichung |( T _{3 sin} ( x )-sin( x ))/sin( x )| bei unter 0 5%.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen Taylorpolynome T _n des Sinus für n =1 3 5 15. Der Graph zu n = ∞ gehört zur Taylorreihe die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Das vierte Taylorpolynom T _{4 cos} der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 im Horner-Schema diese Gestalt:

<math> \cos(x) \approx T_{4 \cos}(x) = \left( - 1 \right) \cdot \frac{x^2}{2} + 1

Liegt x zwischen -π/4 und π/4 dann liegt relative Abweichung |( T _{4 cos} ( x )-cos( x ))/cos( x )| bei unter 0 05%.

Will man mit diesen Näherungsformeln den oder Kosinus von anderen x -Werten berechnen sollte man die Reduktionsformeln benutzen um | x | kleiner als π/4 zu machen.

Auch für Tangens und Kotangens kann man diese Formeln nutzen denn ist

tan( x ) ~ t( x ) = T _{3 sin} ( x ) / T _{4 cos} ( x )

mit einer relativen Abweichung von unter 5% für | x | < π/4 und cot( x ) ~ 1/t( x ) mit derselben relativen Abweichung. (Dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens.)

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit seine Näherungsformeln dann kann man auf höhere zurückgreifen die die Funktionen noch besser approximieren. das so ist wird im Artikel Taylorreihe erläutert.

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