Taylorreihe

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In der Analysis verwendet man Taylorreihen um Funktionen in der Umgebung bestimmter durch Potenzreihen darzustellen. Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion <math>f</math> in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor . Eng verwandt mit der Taylorreihe sind Taylor-Polynome die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Eigenschaften

3 Beispiele

3.1 Exponentialfunktionen und Logarithmen
3.2 Trigonometrische Funktionen

Definition

Ist I ein reelles Intervall und f : I -> R eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion heißt für a aus I die unendliche Reihe

<math>

 f(x) = f(a)

+ f'(a) (x-a) + \frac{f (a)}{2} (x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \ldots </math>

<math>= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n</math>

die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a .

Hierbei bezeichnet f ⁽ⁿ⁾( a ) die n -te Ableitung von f an der Stelle a (mit f ⁽⁰⁾ := f ) und n ! = 1 · 2 · ... n die Fakultät von n .

Die Partialsummen der Taylorreihe bezeichnet man Taylorpolynome und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung Restglied ) von der Funktion f . Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie guten Anwendbarkeit der Restgliedformel sind Taylorpolynome unverzichtbares der Analysis und der Ingenieurwissenschaften geworden.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in x . Allgemein muss sie weder einen positiven haben noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich f übereinstimmen.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen x aus I gegen f ( x ) für die das Restglied R _k ( x ) gegen 0 konvergiert.

Ist f selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a dann stimmt die Taylorreihe mit dieser überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe wenn die Taylorreihe gegen f konvergiert dann sind höhere Taylorpolynome automatisch Näherungen da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von x stets eine Umgebung in der diese erfüllt ist.

Beispiele

Betrachte die Funktion

<math>

f(x) = \begin{cases}
0 & \mbox{für } x\le 0\\ & \mbox{für } x>0
\end{cases} </math>

Als reelle Funktion ist f unendlich oft stetig differenzierbar wobei die Ableitungen in jedem Punkt x <= 0 (insbesondere für x = 0) ausnahmslos 0 sind. Die um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f überein. Daher ist f nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen a > 0 konvergiert zwischen 0 und a gegen f . Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren die Laurentreihe die die Funktion für x >0 korrekt wiedergibt für x <0 nicht konstant 0 ergibt.

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch darstellen die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen x :

Exponentialfunktionen und Logarithmen

<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad\mbox{ für } x </math>

<math> \log(1+x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \quad\mbox{ } -1 < x \le +1</math>

Diese Formel ist jedoch für praktische ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe für:

<math> \log(y) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \quad x := \frac{y-1}{y+1} \quad \mbox{ } -1 < y < +1 </math>.

Trigonometrische Funktionen

<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\mbox{ alle } x </math>

<math> \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\mbox{ alle } x </math>

<math> \tan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \quad\mbox{ für \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>

<math> \sec(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \mbox{ } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} </math>

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