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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 23. Mai 2013 

Quantisierung (Physik)


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Die Quantisierung oder Quantelung der Energie ist eines der wesentlichen der Quantenmechanik . Die Übertragung von Energie geschieht demnach in einzelnen diskreten Portionen. Eine solche Energie wird Quant genannt. Verschiedene Modellsysteme aus der Quantenmechanik zur Quantisierung der Energie.

Teilchen im Kasten

Das Teilchen im Kasten ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus Quantenmechanik welches zur Quantisierung der Energie führt.

Gedanklicher Aufbau

Das Modellsystem besteht aus einem freien (beispielsweise einem Gasmolekül) welches zwischen zwei "Wänden" bei <math>x=0</math> und eine bei <math>x=L</math>) eingesperrt Im Inneren des Kastens herrscht ein Potential Null. Die "Wände" symbolisieren eine unendlich hohe Im Gegensatz zur klassischen Physik führt die Beschreibung dieses Modells zu zwei wesentlichen Unterschieden:
  1. Es sind nur Teilchen zu gelassen Wellenlänge zwischen die Wände passen.
  2. An den Wänden muss die Wellenfunktion sein. (Diese Randbedingung begründet sich aus mathematischen für die Schrödinger-Gleichung.)
Wenn die Potentialbarriere endlich ist kommt dritter Unterschied hinzu. Ein quantenmechanisches Teilchen kann eine Potentialbarriere überwinden für die es eigentlich genügend Energie besitzt. Dies nennt man den Tunneleffekt .

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung führt zur der Energie

Wie bei einem freien Teilchen lautet zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung innerhalb des Kastens
<math>H \psi(x) = E \psi(x)</math>.
Die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> lässt sich schreiben
<math>\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)
und für die Energie <math>E</math> erhält
<math> E = {k^2 \cdot \hbar^2 \over </math>.

Beschränkt werden die Lösungen allerdings durch Randbedingung dass die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> an den gleich 0 sein muss. Es muss also

<math>\psi(x=0)=0 \quad \mbox{ und } \quad \psi(x=L)=0</math>.

Aus der ersten Randbedingung folgt

<math>\begin{matrix}\psi(x=0) &=& A\sin(k0) + B\cos(k0) \\ & A\cdot0 + B\cdot1 \\ & = &

Damit diese Gleichung erfüllt wird muss sein. Damit vereinfacht sich die Wellenfunktion zu

<math>\psi(x) = A \sin(kx)</math>.

Mit Hife der zweiten Randbedingung folgt

<math>\psi(x=L)=A\sin(kL)=0</math>.

Damit diese Gleichung erfüllt wird muss ein ganzes Vielfaches von <math>\pi</math> sein also

<math>kL=n\pi \quad \mbox{ wobei } \quad n=1 3 ...</math>

Löst man diesen Ausdruck nach <math>k</math> und setzt ihn in die Gleichung für Energie <math>E</math> ein so erhält man

<math> E = {n^2 \cdot h^2 \over </math>.

Da <math>n</math> nur ganzzahlige Werte annehmen kann die Energie ebenfalls nur bestimmte Werte Die Energie des Teilchens ist somit gequantelt.




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