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Mengenlehre


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Die Mengenlehre ist die mathematische Theorie die sich mit den Eigenschaften Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für Disziplinen wie Algebra Analysis Stochastik oder Topologie .

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor . Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten Anschauung oder des Denkens welche die Elemente der Menge genannt werden zu einem . Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu Widersprüchen ( Russellsche Antinomie ).

Die axiomatische Mengenlehre ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ) verzichtet deshalb auf eine Definition der und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer festgelegt. Die einzige Grundrelation ist <math>\in</math> (gesprochen Element von ) z.B. x <math>\in</math> M wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser verwenden wir die Schreibweise " x in M " oder " x aus M " manchmal auch das HTML-Zeichen ∈ welches von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

Die Menge aller roten Figuren geschnitten mit Menge aller Kreise ergibt die roten Kreise

In den 70er Jahren wurde die unter dem Namen Neue Mathematik im Unterricht der Grundschulen eingeführt. Im Vorfeld hatte eine Studie dass Schüler deren Lehrer sie freiwillig in unterrichtet hatten insgesamt bessere Leistungen im Fach zeigten. Ziel war es neben der Vermittlung Rechenfertigkeiten auch das logische Denken und das der Kinder zu fördern. Dazu wurde die formalisierte Mengenlehre didaktisch reduziert auf Mengendiagramme und das Legen bunter Plastikplättchen.

Die Neue Mathematik stieß auf den überforderter Eltern und Lehrer. Als offenkundig wurde die genannte Studie formale Fehler aufwies wurde wieder abgeschafft - auch um dem traditionellem wieder mehr Platz im Mathematikunterricht einzuräumen.

Definitionen

Seien <math>{A} {B} </math> beliebige Teilmengen Menge <math>\mathbb{X}</math>.

  • Teilmenge (auch Inklusion ): <math>{B} \subseteq {A}</math> ( B ist Teilmenge von A ) wenn jedes Element von B auch Element von A ist d.h. B ist enthalten in oder gleich A . In Zeichen: <math>\forall x \in {\mathbb{X}} {x} \in B \Rightarrow {x \in A}</math>. ist auch die Schreibweise <math> {B} \sub </math>

  • Echte Teilmenge: <math> {B} \subset {A} </math> ( B ist echte Teilmenge von A ) wenn die Menge B enthalten in und ungleich A ist. Bsp.:<math>\mathbb{N}^+\subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>
    Um Missverständnisse die durch gelegentliche unterschiedliche Definitionen Begriffs Teilmenge entstehen sicher auszuschließen ist auch die <math> {B} \subsetneq {A} </math> gebräuchlich.

  • Schnittmenge: <math> {A}\cap{B} := \{ x \in \mid x \in {A} \and x \in \}</math> ( A geschnitten mit B ) ist die Menge aller Elemente die in A als auch in B enthalten sind.

  • Vereinigungsmenge : <math> {A}\cup {B} := \{ x \mathbb{X} \mid x \in {A} \or x {B} \}</math> ( A vereinigt mit B ) ist die Menge der Elemente die A oder in B oder beiden Mengen liegen.

  • Komplement von <math>A</math> in <math> \mathbb{X}</math>: <math>\complement{A}:=\{ x \in \mathbb{X} \mid x A \}</math> die Menge aller Elemente die in A liegen.
    Wird auch als <math>\overline{A}</math> <math>A^C</math> oder geschrieben.

  • Differenzmenge: <math>{A} \setminus {B} = \{ x \mathbb{X} \mid x\in A \and x\not\in B\} ( A ohne B ) ist die Menge aller Elemente die A enthalten sind aber nicht in B

  • symmetrische Differenz : <math>{A} \ \triangle \ {B} := A \setminus B \right) \cup \left( B A \right) </math> ist die Menge aller die in einer aber nicht in beiden gegebenen Mengen liegen

  • Leere Menge : Die leere Menge enthält kein Element und wird mit <math>\varnothing</math> oder <math>\{\}</math> bezeichnet.

  • Potenzmenge : Die Potenzmenge <math>\mathcal{P} \left( {A} \right) ist die Menge aller Teilmengen von <math>{A}</math>.

Gesetzmäßigkeiten

Die Mengen-Operationen Schnitt <math>\cap</math> und Vereinigung <math>\cup</math> sind zueinander assoziativ als auch distributiv.

  • Kommutativgesetz : <math>A \cup B = B \cup </math> <math>A \cap B = B \cap </math>

  • Assoziativgesetz: <math>\left( A \cup B \right) \cup = A \cup \left( B \cup C </math> <math>\left( A \cap B \right) \cap = A \cap \left( B \cap C </math>

  • Distributivgesetz : <math>A \cup \left( B \cap C = \left( A \cup B \right) \cap A \cup C \right)</math> <math>A \cap \left( \cup C \right) = \left( A \cap \right) \cup \left( A \cap C \right)</math>

  • De Morgansche Gesetze : <math>\complement( A \cup B) = \complement{A} \complement{B}</math> <math>\complement{(A \cap B)} = \complement{A} \cup

Für die symmetrische Differenz gelten folgende

  • Kommutativgesetz : <math>A \triangle B = B \triangle </math>

  • Assoziativgesetz: <math>\left( A \triangle B \right) \triangle = A \triangle \left( B \triangle C </math>

<math>A \triangle \varnothing = A \quad A A = \varnothing</math>

Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra .

Siehe auch: Universum (Mathematik)

Mathematical Subject Classification: 03Exx

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