Vektorraum

Der Vektorraum ist das fundamentale Konzept der Linearen Algebra ; Anwendungen finden sich in fast allen der Mathematik .

Prototyp eines Vektorraums ist der zwei- dreidimensionale geometrisch anschauliche Euklidische Raum . In der Abstraktion zum Vektorraum erlaubt beliebige auch unendliche Dimensionen . Als Vektoren also Elemente des Vektorraums lässt man Objekte wie Funktionen oder Matrizen zu die aus einem außergeometrischen Kontext Entscheidend ist nur dass die Elemente eines den aus der Geometrie abstrahierten Regeln für Addition und Streckung von Vektoren genügen.

Die Streckung eines Vektors erfolgt durch Multiplikation mit einer skalaren Zahl; dementsprechend ist ein Vektorraum immer Vektorraum über einem bestimmten Zahlkörper . In den meisten Anwendungen legt man Körper der reellen oder den der komplexen Zahlen zugrunde.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition 2 Beispiele 2.1 Euklidische Ebene 2.2 Ein einfacher abstrakter Vektorraum 3 Spezielle Vektorräume 4 Untervektorraum / Teilvektorraum

Formale Definition

Eine Menge V heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum wenn zwei Verknüpfungen

• eine Vektoraddition +: V × V → V und
• eine Skalarmultiplikation *: K × V → V

Für alle Vektoren u v w aus V und alle Skalare a b aus K gilt:

• ( V +) ist eine Abelsche Gruppe das heißt
  • v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit);
  • u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ( Assoziativität );
  • Es gibt einen Nullvektor 0 aus V so dass 0 + v = v = v + 0 ;
  • Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v so dass v + ( -v ) = 0 ;
  • v + w = w + v (Kommutativität);
• für die Skalarmultiplikation gilt:
  • a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V ist Bahnenraum unter K );
  • a * ( b * v ) = ( a * b ) * v (Assoziativität);
  • 1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral);
• und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und
  • a * ( v + w ) = a * v + a * w ;
  • ( a + b ) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen bezeichnet "+" die in K nicht die Vektoraddition).

Bemerkungen:

• Die Skalarmultiplikation kann man genausogut durch · durch * bezeichnen; oft lässt man das auch ganz weg.
• Da K kommutativ ist wird nicht zwischen Skalarmultiplikation links oder von rechts unterschieden.
• Wenn man statt einem Körper K einen Ring zugrunde legt erhält man ein Modul .

Beispiele

Euklidische Ebene

Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. betrachten die 2-dimensionale Euklidische Ebene :

v = ( 2 3 ) sei Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und Einheiten nach oben.

w = ( 3 -5 ) sei Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und Einheiten nach unten.

v + w = ( 5 -2 ) d.h. Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach

Der Nullvektor ist 0 = ( 0 0 ) d.h. Verschiebung.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der Zahlen ist die S-Multiplikation:

a * v = 3 * ( 2 3 = ( 6 9 ). Diese Verschiebung das Dreifache der Verschiebung v .

Ein einfacher abstrakter Vektorraum

Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. kann V etwa die Menge der Geraden Beispiele für Geraden sind etwa:

f(x) = 2x + 3 g(x) = - 5 .

f(x) + g(x) = 2x + 3 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) 5x - 2 .

n(x) = 0x + 0 d.h. n(x) 0.

a * f(x) = 3 * (2x 3) = (3 ^. 2)x + (3 ^. 3) = 6x + 9.

Spezielle Vektorräume

Oft besitzt ein Vektorraum neben seiner auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur; er ist dann ein topologischer Vektorraum .

In vielen Vektorräumen ist es möglich Länge eines Vektors anzugeben die etwas abstrakter Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann normierter Raum . Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine Topologie .

Oft ist es sinnvoll und möglich den Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Das geschieht Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum .

In einem metrischen Raum ist das Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum in dem Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständig . Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbert-Raum .

Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen deren Elemente Elektronenwellenfunktionen sind.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .

Untervektorraum / Teilvektorraum

Wir betrachten den oben angegebenen K-Vektorraum

V' ist ein Untervektorraum oder auch von V falls die folgenden Bedingungen gelten:

• <math>V' \ne \empty</math>
• <math>V' \subseteq V</math>
• Liegen Elemente x und y in so liegt auch (x + y) in ( Abgeschlossenheit bezüglich der Addition )
• Liegt das Element x in V' liegt auch a * x in V' alle a in K ( Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation )

Beispiel:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen zum Quadrat: <math>V = \mathbb{R}^{2}</math>. Ein Untervektorraum ist <math>M = \mathbb{R} \times \left\{0\right\}</math> er die o.g. Bedingungen des Untervektorraums erfüllt. ist V eine Ebene und M ist eine Gerade aus dieser Ebene wobei eine Koordinate stets 0 ist.

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