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Satz des Thales


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Thaleskreis

Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie . Seine kürzeste Formulierung lautet:

Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel .

Konstruiert man ein Dreieck aus den zwei End punkten des Durchmessers eines Halbkreises (dem Thaleskreis ) und einem weiteren Punkt dieses Kreises erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck .

Umgekehrt liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks immer in der der Hypotenuse .

Der Satz war in empirischer Form den Ägyptern und Babyloniern bekannt. Der erste Beweis wird dem griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. Der Thaleskreis ist ein Spezialfall Umfangswinkelsatzes.

Beweis

Zum Beweis werden zwei ebenfalls von bewiesene Sätze benötigt:

  1. Die beiden Winkel an der Grundseite eines Dreiecks sind gleich.
  2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.


Diagramm zum Beweis

Sei ABC ein Dreieck in einem mit AC als Kreisdurchmesser. Dann ist der M der Strecke AC auch Kreismittelpunkt. Die AM BM und CM sind also gleich Radius r .

Damit sind die Dreiecke AMB und jeweils gleichschenklig. Die Winkel an der Grundseite daher jeweils gleich (<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> in Abbildung).

Die Summe der beiden Winkel an ist 180°:

<math>\gamma+\delta=180^o</math>

Die Winkelsumme in den Dreiecken AMB CMB ist - wie in jedem ebenen - 180°:

<math>\gamma+2\alpha=180^o</math>
<math>\delta+2\beta=180^o</math>

Addiert man diese Gleichungen und zieht erste Gleichung ab so erhält man:

<math>\gamma+2\alpha+\delta+2\beta-(\gamma+\delta)=180^o</math>
<math>2\alpha+2\beta=180^o</math>

und damit

<math>\alpha+\beta=90^o</math>

Dies ist aber genau der gesuchte im Punkt B.

Umfangswinkelsatz


Verallgemeinerter Satz des Thales

Die folgende Verallgemeinerung gilt für beliebige und heißt Umfangswinkelsatz oder Peripheriewinkelsatz:

Sind A B C Punkte auf einem mit dem Mittelpunkt M so ist der AMC doppelt so groß wie der Winkel .



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